Esercizio sulle coniche
salve a tutti. mi sono imbattuta in un esercizio che non riesco a fare
scrivere l'equazione della conica $C$ avente per vertice $V=(2,1)$, come asintoto la retta $x=y$ ,come diametro la retta$ s$ $ x-2y+1=0$.
determinare le equazioni delle tangenti alla conica nei punti in cui $s$ incontra $C$.
dunque io so che:
il vertice è il punto in cui la conica incontra l'asse.
l'asintoto sono diametri autoconiugati
il diametro è la polare del punto improprio $(k,h,0)$
ma non so sviluppare la traccia. non so impostare il tutto... help!!!
per il secondo punto, una voltra risolto il primo, trovo l'intersezione tra c ed s. se poi il punto trovato sta in C allora la tangente coincide con la polare di quel punto, altrimenti mi considero l'eq. complessiva delle tangenti.
scrivere l'equazione della conica $C$ avente per vertice $V=(2,1)$, come asintoto la retta $x=y$ ,come diametro la retta$ s$ $ x-2y+1=0$.
determinare le equazioni delle tangenti alla conica nei punti in cui $s$ incontra $C$.
dunque io so che:
il vertice è il punto in cui la conica incontra l'asse.
l'asintoto sono diametri autoconiugati
il diametro è la polare del punto improprio $(k,h,0)$
ma non so sviluppare la traccia. non so impostare il tutto... help!!!
per il secondo punto, una voltra risolto il primo, trovo l'intersezione tra c ed s. se poi il punto trovato sta in C allora la tangente coincide con la polare di quel punto, altrimenti mi considero l'eq. complessiva delle tangenti.
Risposte
Il centro della conica è l'intersezione tra l'asintoto ed il diametro dati ed è quindi il punto C(1,1)
L'altro vertice V' della conica è il simmetrico di V rispetto al centro C ed è il punto V'(0,1)
Poiché il centro della conica è al finito ed è presente un asintoto , si può anticipare che la conica è una iperbole.
Le tangenti a questa iperbole in V e V' sono le perpendicolari in V e V' alla retta congiungente V con C e sono
pertanto le rette di equazioni \(\displaystyle x=0, x-2=0 \)
A questo punto è facile scrivere l'equazione del fascio di coniche che ha quelle caratteristiche ed è :
(1) \(\displaystyle \lambda x(x-2)+\mu(y-1)^2=0 \)
In coordinate proiettive (x,y,t) questa equazione si scrive come :
\(\displaystyle \lambda x(x-2t)+\mu(y-t)^2=0 \)
Imponendo ora che tale conica passi per il punto ( improprio) \(\displaystyle (1,1,0) \) dell'asintoto , si trova :
\(\displaystyle \mu=-\lambda \)
per cui la (1) diventa :
\(\displaystyle x(x-2)-(y-1)^2=0 \)
ovvero :
\(\displaystyle (x-1)^2-(y-1)^2=1 \)
che è la richiesta equazione della conica C. Il resto è facile.
ciao . grazie per l'esercizio. cmq non ha capito alcune cose:
1) Il centro della conica è l'intersezione tra l'asintoto ed il diametro dati ..
2) nell'equazione della conica tu scrivi anche $(y-1)^(2)$ da dove salta fuori?
1) Il centro della conica è l'intersezione tra l'asintoto ed il diametro dati ..
2) nell'equazione della conica tu scrivi anche $(y-1)^(2)$ da dove salta fuori?
L'asintoto di una iperbole è la polare del suo punto improprio che appartiene quindi alla retta impropria del piano della conica. Poiché per definizione il centro della conica è il polo della retta impropria ne segue, per la legge del coniugio, che il centro deve appartenere all'asintoto. Ora il centro appartiene anche a qualsiasi diametro della conica e dunque tale centro è l'intersezione tra asintoto e diametro. Per l'atra domanda, tu hai due punti V e V' con le relative tangenti che sono le rette passanti per V e V' rispettivamente e perpendicolari alla retta VC. Questo ti dà la possibilità di scrivere l'equazione del fascio di iperboli simbolicamente in questo modo :
\(\displaystyle \lambda (VV)(V'V')+\mu (VV')(VV')=0 \)
dove (V V) è la tangente in V, (V' V') è la tangente in V' e (V V')(V V') è la retta V V' contata due volte.
Traducendo analiticamente hai l'equazione:
\(\displaystyle \lambda(x)(x-2)+\mu(y-1)(y-1)=0 \) che è quella che ho scritto nel post.
Imponendo poi il passaggio per (1,1,0) ottieni l'equazione definitiva della C.
\(\displaystyle \lambda (VV)(V'V')+\mu (VV')(VV')=0 \)
dove (V V) è la tangente in V, (V' V') è la tangente in V' e (V V')(V V') è la retta V V' contata due volte.
Traducendo analiticamente hai l'equazione:
\(\displaystyle \lambda(x)(x-2)+\mu(y-1)(y-1)=0 \) che è quella che ho scritto nel post.
Imponendo poi il passaggio per (1,1,0) ottieni l'equazione definitiva della C.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo