Esercizio sulle componeti connesse

[squalllionheart]

L'esercizio si divide in due parti:
(i)Si indichi uno spazio topologico X e un suo sottospazio Y con infinite componenti connesse tale che la chiusura sia compatta
(ii)Si indichi uno spazio topologico X e un suo sottospazio Y con infinite componenti connesse tale che la chiusura sia connesso

(i)Ho pensato a $X=QQ nn [0,1]$ perchè le componenti connesse di $QQ$ sono i punti, i punti sono un numero infinito, e la chiusura di $[0,1]$ questo è compatto e connesso

[vict85]

Mah, non c'era bisogno di togliere così tanti punti... Ti basta prendere l'insieme degli intervalli del tipo $(1/(2^n), 1/(2^(n+1)))$, la cui chiusura è I che è compatto e connesso... Per ii) potevi anche prendere $RR-NN$ la cui chiusura è connessa (ma non compatta).

[squalllionheart]

Grazie.