Esercizio sulle basi ortonormali
Ciao a tutti ragazzi, domani ho l'esame di algebra lineare e cercherò di andare con quel poco che so. Però prima di dirigermi all'inferno 
volevo sapere come si svolge questo esercizio (non è l'esercizio completo ma una parte). Ovviamente se non ricevo risposte la colpa è mia che mi sono ridotto all'ultimo però spero in un anima pia 
.
L'esercizio è il seguente: Data la matrice A_t
(t 0 2 2)
(0 0 2 2)
(2 2 0 0)
(2 2 0 0)
Dire, motivando, se esiste una base ortonormale di R^4
costituita da autovettori di A_0 e, in caso positivo,
trovarla.
Io praticamente l'ho svolta in questa maniera:
1) ho trovato gli autovettori relativi agli autovalori che sono ( per me) : v1=(-1,1,0,0) v2=(0,0,-1,1) v3=(1,1,1,1)
v4=(-1,-1,1,1)
2) sono lin ind quindi dovrebbero essere una base ( vi prego ditemi che non devo controllare che sono un sistema di generatori, spero che siano in automatico una volta trovati)
3) Per essere una base ortonormale devono essere rispettati due principi
1a condizione di ortogonalità che viene rispettato
2a tutti i vettori devono avere norma 1
4) dato che il secondo principio non viene rispettato prendo il vettore e lo divido con la sua norma in questa maniera d'avere
v1=(-1/2,1/2,0,0) v2=(0,0,-1/2,1/2) v3=(1/4,1/4,1/4,1/4) v4=(-1/4,-1/4,1/4,1/4)
Spero di aver fatto bene...però una domanda mi sorge. Quando posso dire che non forma una base e arrivederci e grazie?
Grazie a tutti
volevo sapere come si svolge questo esercizio (non è l'esercizio completo ma una parte). Ovviamente se non ricevo risposte la colpa è mia che mi sono ridotto all'ultimo però spero in un anima pia . L'esercizio è il seguente: Data la matrice A_t
(t 0 2 2)
(0 0 2 2)
(2 2 0 0)
(2 2 0 0)
Dire, motivando, se esiste una base ortonormale di R^4
costituita da autovettori di A_0 e, in caso positivo,
trovarla.
Io praticamente l'ho svolta in questa maniera:
1) ho trovato gli autovettori relativi agli autovalori che sono ( per me) : v1=(-1,1,0,0) v2=(0,0,-1,1) v3=(1,1,1,1)
v4=(-1,-1,1,1)
2) sono lin ind quindi dovrebbero essere una base ( vi prego ditemi che non devo controllare che sono un sistema di generatori, spero che siano in automatico una volta trovati)
3) Per essere una base ortonormale devono essere rispettati due principi
1a condizione di ortogonalità che viene rispettato
2a tutti i vettori devono avere norma 1
4) dato che il secondo principio non viene rispettato prendo il vettore e lo divido con la sua norma in questa maniera d'avere
v1=(-1/2,1/2,0,0) v2=(0,0,-1/2,1/2) v3=(1/4,1/4,1/4,1/4) v4=(-1/4,-1/4,1/4,1/4)
Spero di aver fatto bene...però una domanda mi sorge. Quando posso dire che non forma una base e arrivederci e grazie?
Grazie a tutti
Risposte
ciao e ben iscritt*!! spero non me ne vorrai ma non controllo i conti perchè non ho sottomano carta e penna. ti correggo solo i ragionamenti e l'impostazione.
se sono usciti prendendo $t=0$, calcolando il polinomio caratteristico di $A_0 -lambdaI$ e studiando l'autospazio, allora si!
una definizione equivalente di diagonizzabilità è che una matrice è diagonalizzabile se è simile ad una matrice diagonale, ovvero se esiste P invertibile tale che $D=P^(-1)TP$, con D diagonale. gli elementi di D sono gli autovalori mentre quelli di P sono gli autovettori. l'invertibilità di P garantisce l'indipendenza degli autovettori. quindi trovati gli autovettori, quella è una base in automatico, fai a meno di controllare anche la lineare indipendenza.
ok
ragionamento corretto ma qui vedo già che i conti sono sbagliati: manca la radice alla norma. questa è infatti calcolabile come $||v||=sqrt(v*v)$
ed un grosso in bocca al lupo per l'esame!!
spero non me ne vorrai ma non controllo i conti perchè non ho sottomano carta e penna. ti correggo solo i ragionamenti e l'impostazione."GeniodelTubo":
1) ho trovato gli autovettori relativi agli autovalori che sono ( per me) : v1=(-1,1,0,0) v2=(0,0,-1,1) v3=(1,1,1,1)
v4=(-1,-1,1,1)
se sono usciti prendendo $t=0$, calcolando il polinomio caratteristico di $A_0 -lambdaI$ e studiando l'autospazio, allora si!
"GeniodelTubo":
2) sono lin ind quindi dovrebbero essere una base ( vi prego ditemi che non devo controllare che sono un sistema di generatori, spero che siano in automatico una volta trovati)
una definizione equivalente di diagonizzabilità è che una matrice è diagonalizzabile se è simile ad una matrice diagonale, ovvero se esiste P invertibile tale che $D=P^(-1)TP$, con D diagonale. gli elementi di D sono gli autovalori mentre quelli di P sono gli autovettori. l'invertibilità di P garantisce l'indipendenza degli autovettori. quindi trovati gli autovettori, quella è una base in automatico, fai a meno di controllare anche la lineare indipendenza.
"GeniodelTubo":
3) Per essere una base ortonormale devono essere rispettati due principi
1a condizione di ortogonalità che viene rispettato
2a tutti i vettori devono avere norma 1
ok
"GeniodelTubo":
4) dato che il secondo principio non viene rispettato prendo il vettore e lo divido con la sua norma in questa maniera d'avere
v1=(-1/2,1/2,0,0) v2=(0,0,-1/2,1/2) v3=(1/4,1/4,1/4,1/4) v4=(-1/4,-1/4,1/4,1/4)
ragionamento corretto ma qui vedo già che i conti sono sbagliati: manca la radice alla norma. questa è infatti calcolabile come $||v||=sqrt(v*v)$
ed un grosso in bocca al lupo per l'esame!!
Grazie tantee
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