Esercizio sulle basi
Mi rendo sempre più conto di una discrepanza tra le nozioni che apprendo e la risoluzione degli esercizi.
L'esercizio dell'ultimo esame che ho fatto:
"Quante e quali sono le basi di $RR^2$ contenute in ${v_1=(1,2), v_2=(2,3), v_3=(3,6), v_4=(6,9)}$?"
Questa è la prima domanda dell'esercizio ma posto solo quella perchè l'altra è semplice.
In questo esercizio ${v_1=(1,2), v_2=(2,3), v_3=(3,6), v_4=(6,9)}$ è un insieme e non uno spazio vettoriale(giusto no?)
ok....anche se parliamo qui di insiemi e non di spazi vettoriali penso che comunque le basi di questo insieme siano pure infinite....$(1,0)$ e $(0,1)$ una base ma anche $(2,0)$ $(0,2)$ ma anche $(3,0)$ $(0,7)$....insomma le infinite basi di questo insieme se non dico sbagliato dovrebbero essere della forma $(k,0)$ $(0,j)$ con $k$ e $j$ $in$$RR^2$
Ora non so....sbaglio io oppure ragiono correttamente e quindi è una domanda a trabocchetto?
Il testo dice proprio espressamente "Quante e quali sono le basi"
L'esercizio dell'ultimo esame che ho fatto:
"Quante e quali sono le basi di $RR^2$ contenute in ${v_1=(1,2), v_2=(2,3), v_3=(3,6), v_4=(6,9)}$?"
Questa è la prima domanda dell'esercizio ma posto solo quella perchè l'altra è semplice.
In questo esercizio ${v_1=(1,2), v_2=(2,3), v_3=(3,6), v_4=(6,9)}$ è un insieme e non uno spazio vettoriale(giusto no?)
ok....anche se parliamo qui di insiemi e non di spazi vettoriali penso che comunque le basi di questo insieme siano pure infinite....$(1,0)$ e $(0,1)$ una base ma anche $(2,0)$ $(0,2)$ ma anche $(3,0)$ $(0,7)$....insomma le infinite basi di questo insieme se non dico sbagliato dovrebbero essere della forma $(k,0)$ $(0,j)$ con $k$ e $j$ $in$$RR^2$
Ora non so....sbaglio io oppure ragiono correttamente e quindi è una domanda a trabocchetto?
Il testo dice proprio espressamente "Quante e quali sono le basi"
Risposte
No...
Scusami, dice pure contenute, quindi immagino che devi testare la lineare indipendenza coppia per coppia....
così a occhio direi che sono 8.
ciao!
Scusami, dice pure contenute, quindi immagino che devi testare la lineare indipendenza coppia per coppia....
così a occhio direi che sono 8.
ciao!
Scusa ma non ho capito 
Forse sono stato troppo criptico... 
Tu hai l'insieme $A={v_1,v_2,v_3,v_4}$ e ti chiede di trovare tutti gli insiemi $B$ di vettori che sono basi di $\mathbb{R}^2$ e tali che $B\subsetA$
è chiaro adesso?
Tu hai l'insieme $A={v_1,v_2,v_3,v_4}$ e ti chiede di trovare tutti gli insiemi $B$ di vettori che sono basi di $\mathbb{R}^2$ e tali che $B\subsetA$
è chiaro adesso?
Ok questo l'ho capito.
Per determinare queste basi invece come fai?
Per determinare queste basi invece come fai?
beh, una base di uno spazio vettoriale $X$ è un insieme di vettori linearmente indipendenti, di cardinalità uguale alla dimensione dello spazio.
si vede a occhio che $v_1$ e $v_3$ ad esempio non possono essere una base, perchè $v_3=3*v_1$.
E procedi così.
Infine, per capirsi,
$(k,0),(0,j)\notinA\ \ \forall i,j\in\mathbb{R}$ e dove $A$ è l'insieme dei vettori definito nel mio post precedente quindi non vanno bene come scelta di base.
Non rispettano la richiesta perchè se prendo $B={(k,0),(0,j)}$
è vero che $B$ è base ma NON è vero che $B\subsetA$
ok?
si vede a occhio che $v_1$ e $v_3$ ad esempio non possono essere una base, perchè $v_3=3*v_1$.
E procedi così.
Infine, per capirsi,
"Robbyx":
ok....anche se parliamo qui di insiemi e non di spazi vettoriali penso che comunque le basi di questo insieme siano pure infinite....(1,0) e (0,1) una base ma anche (2,0) (0,2) ma anche (3,0) (0,7)....insomma le infinite basi di questo insieme se non dico sbagliato dovrebbero essere della forma (k,0) (0,j) con k e j ∈ℝ2
$(k,0),(0,j)\notinA\ \ \forall i,j\in\mathbb{R}$ e dove $A$ è l'insieme dei vettori definito nel mio post precedente quindi non vanno bene come scelta di base.
Non rispettano la richiesta perchè se prendo $B={(k,0),(0,j)}$
è vero che $B$ è base ma NON è vero che $B\subsetA$
ok?
Quindi le 8 basi sarebbero ${(1,2),(2,3)},{(2,3),(1,2)},{(1,2),(6,9)},{(6,9),(1,2)},{(2,3)(3,6)},{(3,6),(2,3)},{(3,6),(6,9)},{(6,9),(3,6)}
giusto?
giusto?
Beh, si nel conto a occhio che avevo fatto nella mia testa erano quelle perchè vedendo che ogni vettore poteva fare base con altri 2 ho moltiplicato 4 per 2...
ora che le hai scritte vedo che avevo sbagliato perchè in realtà l'ordine non conta, quindi tolte le ripetizioni sono in totale 4.
ti torna?
ora che le hai scritte vedo che avevo sbagliato perchè in realtà l'ordine non conta, quindi tolte le ripetizioni sono in totale 4.
ti torna?
Beh no l'ordine invece credo proprio che conti...ti riporto una definizione dal mio testo di algebra lineare:
Se infatti per esempio ho il vettore $(1,2)$ e lo esprimo attraverso la base ${(1,0)(0,1)}$ il vettore coordinate rispetto a questa base sarà $(1,2)$ se invece considero la base ${(0,1)(1,0)}$ il vettore coordinate rispetto a questa nuova base è diverso ed è $(2,1)$
Notiamo che se ${v_1,v_2.....v_n}$ è una base $B$ di $V$, cambiando l'ordine dei vettori si ottiene una nuova base di $V$ distinta da $B$
Se infatti per esempio ho il vettore $(1,2)$ e lo esprimo attraverso la base ${(1,0)(0,1)}$ il vettore coordinate rispetto a questa base sarà $(1,2)$ se invece considero la base ${(0,1)(1,0)}$ il vettore coordinate rispetto a questa nuova base è diverso ed è $(2,1)$
Se una base è definita come un INSIEME ${v_1, ... , v_n}$ di elementi, l'ordine con cui sono elencati, scritti, letti, cantati, non ha nessuna importanza.
Chi scrive cose come quella che citi dovrebbe ripetere 1000 volte che ${v_1, ... , v_n}$ è diverso da $(v_1, ... , v_n)$.
Non sto dicendo che la frase scritta sia scorretta senza ombra di dubbio (tra l'altro, potrebero esserci considerazioni "a monte" o "a valle" che chiarificano). Però è perlomeno scritta in modo molto ambiguo, in modo da ingenerare dubbi.
E questo non va fatto in corsi di base.
Purtroppo questa confusione è diffusa. E' ovvio che se si vuole parlare di matrice di rappresentazione di una applicazione lineare serviranno "basi ordinate". Stesso dicasi per il discorso che fai tu. Ma secondo la mia esperienza troppo spesso vengono fatti discorsi confondenti su questo.
Chi scrive cose come quella che citi dovrebbe ripetere 1000 volte che ${v_1, ... , v_n}$ è diverso da $(v_1, ... , v_n)$.
Non sto dicendo che la frase scritta sia scorretta senza ombra di dubbio (tra l'altro, potrebero esserci considerazioni "a monte" o "a valle" che chiarificano). Però è perlomeno scritta in modo molto ambiguo, in modo da ingenerare dubbi.
E questo non va fatto in corsi di base.
Purtroppo questa confusione è diffusa. E' ovvio che se si vuole parlare di matrice di rappresentazione di una applicazione lineare serviranno "basi ordinate". Stesso dicasi per il discorso che fai tu. Ma secondo la mia esperienza troppo spesso vengono fatti discorsi confondenti su questo.
Ah ho capito! Grazie per il chiarimento! Sì purtroppo l'algebra lineare oltre che non essere fatta a scuola poi è spiegata male....molto spesso dai professori ma persino dai libri....a questo poi sommiamo che di per sè è complicata e i risultati quali sono?Su 50 agli esami ne passa uno o due se va bene(ovviamente col minimo) 
L'algebra lineare è, a mio avviso, molto semplice e "lineare" !! 
-.-..........beh per te magari sì! :p
"Robbyx":
Beh no l'ordine invece credo proprio che conti...ti riporto una definizione dal mio testo di algebra lineare:
Notiamo che se ${v_1,v_2.....v_n}$ è una base $B$ di $V$, cambiando l'ordine dei vettori si ottiene una nuova base di $V$ distinta da $B$
oddio! Ti consiglio proprio di cambiare libro...In genere, i libri della collana grigia della bollati e boringhieri sono fatti bene,
magari prova a dare un'occhiata.
Ciao!
Vabbè oramai sto cominciando a sedimentarle le cose un altro libro non me lo vado a comprare
Piuttosto quando ho dubbi faccio ricerche su internet o posto qui o vado dal professore a ricevimento o chiedo ai colleghi.....insomma tutto quello che posso fare faccio!
Piuttosto quando ho dubbi faccio ricerche su internet o posto qui o vado dal professore a ricevimento o chiedo ai colleghi.....insomma tutto quello che posso fare faccio!
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