Esercizio sulle basi

[davideio1]

U e V sottospazi di $R^3$
U={2x+y+2z=0}
V={x+3y+z=0}

a)trovare la base di U e completarla alla base di $R^3$
b)trovare la base di V e completarla alla base di $R^3$
c)determinare una funzione lineare invertibile da $R^3$ in $R^3$ tale che F(U)$sub$ V


per a e b ho fatto così:

U=<(1,-2,0);(0,-2,1)> e l'ho completata con (0,1,0)
V=<(-3,1,0);(-1,0,1)> e l'ho completata con (1,0,0)

è giusto?idee per il punto c?

grazie a tutti

[f4st1]

ciao sono ancora io
premetto che potrei benissimo sbagliare! visto che nn ho fatto esercizi simili purtroppo..

ma visto che $F(U)sub V$ credo che potresti imporre che l'immagini dei vettori base di U siano di V e per il per il terso vettore mancante fai una scelta arbitraria (che sia linearmente indipendente..)
Poiché l'applicazione sia invertibile bisogna che sia un isomorfismo

potresti pensare ad un'applicazione lineare tipo
$f(x,y,z)=(-3x-y,x+y,y+z)$

se vuoi calcolare l'applicazione inversa potresti semplicemente calcolare l'inversa della matrice $A$ associata a questo isomorfismo che sarà la matrice associata alla tua $F^(-1)"

(le basi per U e V sono giuste.. ma guarda che hai scritto y a posto di z
"U={2x+y+2y=0} "
ciaooo

[davideio1]

sei destinato a essere il mio aiutante di matematica discreta
allora grazie per la correzione, ho messo a posto.

per quanto riguarda la funzione non capisco il ragionamento che si deve fare:

cioè se la funzione va da $R^3$ a $R^3$ vorrà dire che la cardinalità dell'immagine e quella dei valori in ingresso è la stessa, cioè 3.
o sono totalmente fuori strada?

[f4st1]

ma bada che $Im(f)$ è un sottospazio del codominio($RR^3$) che talvolta può coincidere col codominio stesso quando ha dimensione del codominio (l'applicazione è suriettiva..)

visto che l'immagine dei vettori dello spazio $U=$ deve essere contenuta in $V=$
imponi che
$f(u_1)=v_1$
$ f(u_2)=v_2 $
$f(w)=p_3$
*)$w$ non è combinazione lineare di $U$
**)$p_3$ non è combinazione lineare di $V$
cosi si dovrebbe ottenere un isomorfismo ( iniettiva e suriettiva)
un'applicazione lineare è individuata appena si conoscono i vettori immagini di una base poiché lo spazio immagine è generata da vettori-immagini di una base(del dominio)

$f(1,-2,0)=(-3,1,0)$
$f(0,-2,1)=(-1,0,1)$
$f(0,1,0$)=(0,1,1)$--> $($f(w)=p_3$ l'ho scelto io..)

scrivi la matrice associata $A$ e vedi che è $f(xyz)=(-3x-y,x+z,y+z)$

(detto questo ripeto che potrei anche sbagliarmi.. anche io la studio da pochi mesi.. e sono un vero dilettante.. aspettiamo se qualcun'altro può dirci se cosi va bene
ciaooo

[davideio1]

ok sto iniziando a capire..solo una cosa mi sfugge:dove imponi che F(U)⊂ V ?o meglio..hai scritto che lo imponi assegnando quelle coppie di valori ma se non ci fosse questa condizione cosa potrebbe cambiare?in che modo quei 3 accoppiamenti soddisfano la condizione?

[f4st1]

cioè intendi se la richiesta fosse semplicemente
"c)determinare una funzione lineare invertibile da$RR^3$ in$RR^3$" (senza "tale che $F(U)subV$") ?
se intendi questo potresti anche semplicemente scrivere l'applicazione Identica
$f(x,y,z)=(x,y,z)$
ciaoo

[davideio1]

purtroppo non riesco proprio a capire con che criterio hai scelto $f(w)=p3$ e perchè la funzione scritta soddisfa quella condizione

[Fox4]

"davideio":
U=<(1,-2,0);(0,-2,1)> e l'ho completata con (0,1,0)
V=<(-3,1,0);(-1,0,1)> e l'ho completata con (1,0,0)

è giusto?idee per il punto c?

Ammettendo che siano giuste le basi di U e V (non ho controllato),

basta che F mandi U in V e il vettore ortogonale a V nel vettore ortogonale a V. Se hai le basi sei a posto no?

siano $u_1,u_2$ la base di U e $v_1,v_2$ la base di V se le completi con $u_3$ e $v_3$

F funzione lineare tc
$F(u_1)=v_1$
$F(u_2)=v_2$
$F(u_3)=v_3$

rispetta le condizioni del punto c
sei sicuro che sia invertibile perchè il Ker è {0}

[davideio1]

scusa se insisto..ma se ho capito bene mi dici che basta completare le 2 basi e porre
$F(u1)=v1
F(u2)=v2
F(u3)=v3 $

per soddisfare la condizione?magari l'ho capita male io ma quella condizione non vuol dire che l'immagine di U è sottoinsieme di V?se così fosse non capisco proprio come posso verificarlo..

[Fox4]

esattamente, quella condizione dice che l'immagine di U deve essere inclusa in V. Appunto.

$\forall x\in U$ deve essere $F(x)\inV$. Allora siccome ho una base di $U$ scrivo $x=c_1 u_1+c_2 u_2$ dove $c_1,c_2\in \mathbb{C}$

$F(x)=c_1F(u_1)+c_2F(u_2)=c_1v_1+c_2v_2$ che appartiene a $V$ !

[f4st1]

credo di aver capito(spero) ciò che non ti è chiaro

-sei d'accordo che$ U=$ generi $U$?
-sei d'accordo che $V=$ generi $V$?
che $$ sia $Im(U)$?
che se metti $ F(U)subV$?
poiché devi dare una BASE scegli $u_3$ che non sia combinazione lineare di $u_1 e u_2$ (hai tre vettori linearmente indipendenti come base dominio) e la sua immagine$f(u_3)$ non deve essere combinazione lineare di $v_1 e v_2$
-cosi hai 3 vettori linearmente indipendenti nell $Im(F)$--> l'applicazione è suriettiva
-hai $Ker(L)=0$--> l'applicazione iniettiva--> quindi invertibile

spero di averti chiarito

[davideio1]

"f4st":credo di aver capito(spero) ciò che non ti è chiaro

-sei d'accordo che$ U=$ generi $U$?
-sei d'accordo che $V=$ generi $V$?
che $$ sia $Im(U)$?
che se metti $ F(U)subV$?
poiché devi dare una BASE scegli $u_3$ che non sia combinazione lineare di $u_1 e u_2$ (hai tre vettori linearmente indipendenti come base dominio) e la sua immagine$f(u_3)$ non deve essere combinazione lineare di $v_1 e v_2$
-cosi hai 3 vettori linearmente indipendenti nell $Im(F)$--> l'applicazione è suriettiva
-hai $Ker(L)=0$--> l'applicazione iniettiva--> quindi invertibile

spero di averti chiarito

mmh..d'accordo su tutto tranne su $ F(U)subV$?
probabilmente questa affermazione si basa su qualcosa di teorico che non conosco..ma non capisco come F(U) sia sicuramente sottoinsieme di V..perchè non può essere che V sia sottoinsieme di F(U)?
magari è una banalità ma proprio non ci arrivo

[f4st1]

"davideio":[quote="f4st"]credo di aver capito(spero) ciò che non ti è chiaro

-sei d'accordo che$ U=$ generi $U$?
-sei d'accordo che $V=$ generi $V$?
che $$ sia $Im(U)$?
che se metti $ F(U)subV$?
poiché devi dare una BASE scegli $u_3$ che non sia combinazione lineare di $u_1 e u_2$ (hai tre vettori linearmente indipendenti come base dominio) e la sua immagine$f(u_3)$ non deve essere combinazione lineare di $v_1 e v_2$
-cosi hai 3 vettori linearmente indipendenti nell $Im(F)$--> l'applicazione è suriettiva
-hai $Ker(L)=0$--> l'applicazione iniettiva--> quindi invertibile

spero di averti chiarito

mmh..d'accordo su tutto tranne su $ F(U)subV$?
probabilmente questa affermazione si basa su qualcosa di teorico che non conosco..ma non capisco come F(U) sia sicuramente sottoinsieme di V..perchè non può essere che V sia sottoinsieme di F(U)?
magari è una banalità ma proprio non ci arrivo [/quote]
su quella riga non c'è nulla di incomprensibile.. ragionaci un'attimo e ci arrivi
ma non vedi che ci sono due uguaglianze? (pensa alla definizione di uguaglianza!!)

SE sei d'accordo sulla mia 2° condizione(che v1 e v1 generano V)
E sei d'accordo sulla 3° condizione(che f(u1) e f(u2) generi Im(U))
sei automaticamente d'accordo sulla 4°condizione poiché f(u1) e f(u2) sono proprio generatori di V!!!!!! non ci puoi fare nulla! rassegnati ^_-
pensaci un momento

Edit: (beh $p_3$ come avevo detto, non è altro che il vettore che completa la base.. guarda la spiegazione di Sergio che è chiarissima )

[davideio1]

per evitarmi gli insulti da tutto il forum evito di scrivere quello che avevo in mente e che mi impediva di capire le vostre soluzioni

ora credo di aver capito il problema e come affrontarlo.

grazie a tutti e 3

[Fox4]

"davideio":
mmh..d'accordo su tutto tranne su $ F(U)subV$?
probabilmente questa affermazione si basa su qualcosa di teorico che non conosco..ma non capisco come F(U) sia sicuramente sottoinsieme di V..perchè non può essere che V sia sottoinsieme di F(U)?

Ma perchè sono spazi vettoriali! e in realtà quella non è un inclusione stretta ma è un incluso o uguale.
IN QUESTO CASO E' PROPRIO UN UGUALE.

Cioè risulta $F(U)=V$

perchè? perchè essendo 2 spazi vettoriali sono univocamente definiti dalle loro basi, giusto? perchè poi tutti gli elementi vengono generati con combinazioni lineari. E' a questo che servono le basi, se non ti torna ridacci un'occhiata...
Allora se una base va in un'altra è come dire che uno sp. vett. va in un'altro.