Esercizio sulle applicazioni lineari
Buonasera a tutti!
Temo di non aver capito l'esercizio che posto di seguito:
"Considerare i vettori $v_1=(1,2,0)$, $v_2=(-1,0,1)$ di $RR^3$ e il sottospazio $V=$. Sia $f:V->RR^3$ l'applicazione lineare definita da: $f(v_1)=(1-2h,h-1,h)$, $f(v_2)=(h+1,-1,-h)$, con $hinRR$.
1) Si studi $f$ al variare di $h$;
2) Dire se esistono valori di $h$ per cui $f$ induce un endomorfismo di $V$.
3) Posto $h=1$, si trovi $f^(-1)(1,-1,0)$ e $f^(-1)(0,1,1)$ e si definisca una estensione $g$ di $f$ ad $RR^3$ tale che $0$ sia un autovalore per g."
Illustro punto per punto i dubbi che ho:
1) La matrice associata all'applicazione viene: $M=((1-2h,h+1),(h-1,-1),(h,-h))$. Tuttavia mi sorgono i primi dubbi: infatti che la moltiplico per il vettore colonna $(x,y,z)$ in modo da ottenere il suo corrispondente (e quindi le equazioni cartesiane) vedo che non è possibile il prodotto. Di conseguenza credo che mi serva un altro vettore di $V$ le componenti del cui corrispondente mediante $f$ occuperanno un'altra colonna (la terza). Giusto?
2) Perché $f$ sia un endomorfismo, in base a ciò che ho supposto, dovrà risultare che $f(v_1)$ ed $f(v_2)$ appartengano al sottospazio $V$ di $RR^3$, sicché ho imposto che i quattro vettori ($v_1,v_2,f(v_1),f(v_2)$) siano linearmente dipendenti. E ciò è impossibile (l'ho provato con i conti: viene una matrice 4 per 3 di rango 3, $AAhinRR$). L'idea è giusta?
3) So come si trova la controimmagine di un vettore ed infatti ho trovato la prima controimmagine richiesta. La seconda dà luogo ad un sistema impossibile, e quindi $(0,1,1)$ non starebbe nell'immagine di $f$. Ma non so come provarlo dato che ho dei dubbi sulla matrice associata di cui ho parlato al primo punto. Riguardo l'estensione non ho idea di come procedere.
Con la speranza di fare un po' di chiarezza, aspetto le vostre risposte. Magari, se preferite, chiariamo punto per punto in modo da evitare confusione!
Vi ringrazio anticipatamente.
Temo di non aver capito l'esercizio che posto di seguito:
"Considerare i vettori $v_1=(1,2,0)$, $v_2=(-1,0,1)$ di $RR^3$ e il sottospazio $V=
1) Si studi $f$ al variare di $h$;
2) Dire se esistono valori di $h$ per cui $f$ induce un endomorfismo di $V$.
3) Posto $h=1$, si trovi $f^(-1)(1,-1,0)$ e $f^(-1)(0,1,1)$ e si definisca una estensione $g$ di $f$ ad $RR^3$ tale che $0$ sia un autovalore per g."
Illustro punto per punto i dubbi che ho:
1) La matrice associata all'applicazione viene: $M=((1-2h,h+1),(h-1,-1),(h,-h))$. Tuttavia mi sorgono i primi dubbi: infatti che la moltiplico per il vettore colonna $(x,y,z)$ in modo da ottenere il suo corrispondente (e quindi le equazioni cartesiane) vedo che non è possibile il prodotto. Di conseguenza credo che mi serva un altro vettore di $V$ le componenti del cui corrispondente mediante $f$ occuperanno un'altra colonna (la terza). Giusto?
2) Perché $f$ sia un endomorfismo, in base a ciò che ho supposto, dovrà risultare che $f(v_1)$ ed $f(v_2)$ appartengano al sottospazio $V$ di $RR^3$, sicché ho imposto che i quattro vettori ($v_1,v_2,f(v_1),f(v_2)$) siano linearmente dipendenti. E ciò è impossibile (l'ho provato con i conti: viene una matrice 4 per 3 di rango 3, $AAhinRR$). L'idea è giusta?
3) So come si trova la controimmagine di un vettore ed infatti ho trovato la prima controimmagine richiesta. La seconda dà luogo ad un sistema impossibile, e quindi $(0,1,1)$ non starebbe nell'immagine di $f$. Ma non so come provarlo dato che ho dei dubbi sulla matrice associata di cui ho parlato al primo punto. Riguardo l'estensione non ho idea di come procedere.
Con la speranza di fare un po' di chiarezza, aspetto le vostre risposte. Magari, se preferite, chiariamo punto per punto in modo da evitare confusione!
Vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
1) Ok la matrice associata $M$. E' errato (oltre che impossibile) moltiplicare per $((x),(y),(z))$ per ottenere l'equazione cartesiana.
Però puoi moltiplicare $M$ per $((lambda),(mu))$, da cui si ricava che
$f(lambda v_1+mu v_2)=M((lambda),(mu))$,
ovvero ottieni l'espressione di $f$ calcolata nel generico vettore di $V$.
Spero di essere stato chiaro. Se hai problemi, chiedi pure.
2) Ok.
Però puoi moltiplicare $M$ per $((lambda),(mu))$, da cui si ricava che
$f(lambda v_1+mu v_2)=M((lambda),(mu))$,
ovvero ottieni l'espressione di $f$ calcolata nel generico vettore di $V$.
Spero di essere stato chiaro. Se hai problemi, chiedi pure.
2) Ok.
Sì tutto chiaro. Praticamente posso servirmi della matrice $M$ per trovare le componenti del vettore corrispondente di un determinato vettore che, rispetto alla base $B={v_1,v_2}$ ha componenti $lambda,mu$.
Riguardo il punto 3)? Risulta anche a te che non esiste la seconda controimmagine richiesta?
Riguardo il punto 3)? Risulta anche a te che non esiste la seconda controimmagine richiesta?
Se il mio computer ha fatto bene i conti (e se io non sbaglio a ricopiare), dovrebbe risultare (per $h=1$)
$f^{-1}(1,-1,0)=v_1+v_2$$
$f^{-1}(0,1,1)=\emptyset$
$f^{-1}(1,-1,0)=v_1+v_2$$
$f^{-1}(0,1,1)=\emptyset$
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