Esercizio sulle applicazioni lineari
Ciao ragazzi,volevo proporvi un esercizio su cui non sono molto ferrato:
Siano U e V due sottospazi vettoriali di R3: U={(x,y,z) | 2x + y - 3z=0} V={(x,y,z) | x + 2y + 3z=0}
1)determinare le basi di U.V,U+V,U intersezione V.
2)Se {e1,e2,e3} è la base canonica di R3 detrrminare l'unica applicazione lineare F: R3->R3 tale che ker L = U intersezione V(da punto 1) e F(e1)=e3,F(e2)=e2
3)Trovare autovettori e autovalori di L
io ho trovato una soluzione,ma ho molti dubbi a riguardo,e vorrei che qualcuno di piu esperto mi mostrasse come risolverlo...grazie mille.
Siano U e V due sottospazi vettoriali di R3: U={(x,y,z) | 2x + y - 3z=0} V={(x,y,z) | x + 2y + 3z=0}
1)determinare le basi di U.V,U+V,U intersezione V.
2)Se {e1,e2,e3} è la base canonica di R3 detrrminare l'unica applicazione lineare F: R3->R3 tale che ker L = U intersezione V(da punto 1) e F(e1)=e3,F(e2)=e2
3)Trovare autovettori e autovalori di L
io ho trovato una soluzione,ma ho molti dubbi a riguardo,e vorrei che qualcuno di piu esperto mi mostrasse come risolverlo...grazie mille.
Risposte
1) Per trovare le basi di $U$ e $V$ basta risolvere le due equazioni che descrivono i due spazi:
$y = - 2x + 3z$ e $x = - 2y - 3z$ da cui si ricava, ad esempio, $(1,-2,0)$ e $(0,3,1)$ per $U$ e $(-2,1,0)$ e $(-3,0,1)$ per $V$
La base dello spazio somma, invece, si risolve riducendo con Gauss-Jordan la matrice 3x4 avente come colonne i vettori di base dei due spazi appena trovati;
nel caso specifico, da $((1,0,-2,-3),(-2,3,1,0),(0,1,0,1))$ si trova $((1,0,0,3),(0,1,0,1),(0,0,1,3))$, il che vuol dire che il quarto vettore è linearmente
dipendente. Scegliendo i primi tre (nella matrice non ridotta!) si ha la base dello spazio somma.
Per l'intersezione, è sufficiente risolvere il sistema formato dalle due equazioni.
2) La matrice associata ad un'applicazione lineare ha per colonne i vettori della base del dominio espressi rispetto alla base del codominio.
Siccome $F(e_3)$ è incognito, chiamo genericamente $(a,b,c)$ l'immagine di $e_3$; dalle informazioni che ho, sò che la matrice associata a $F$ è quindi
$[F]_c = ((0,0,a),(0,1,b),(1,0,c))$
Il nucleo è il sottospazio del dominio avente tutti i vettori che hanno il vettore nullo come immagine, quindi bisogna imporre $[F]_c (x,y,z)^T = (0,0,0)^T$
Si trova così il sistema
$az = 0$
$y + bz = 0$
$x + cz = 0$
Sostituendo le coordinate del vettore di base dello spazio intersezione, cioè $(3,3,-1)$, si trova $a = 0$, $b = 3$ e $c = -3$.
3) Non ho capito cosa sia $L$...l'applicazione non si chiama $F$? Comunque, per trovare gli autovalori basta porre
$|[F] - lambda I| = 0$, cioè $|(-lambda,0,0),(0,1-lambda,3),(1,0,-3-lambda)| = 0$
Gli autovalori sono le radici dell'equazione che si trova calcolando il determinante; gli autovettori si ricavano sostituendo uno alla volta gli autovalori cercati nella matrice $[F] - lambda I$ e cercando di volta in volta il nucleo di tale matrice
$y = - 2x + 3z$ e $x = - 2y - 3z$ da cui si ricava, ad esempio, $(1,-2,0)$ e $(0,3,1)$ per $U$ e $(-2,1,0)$ e $(-3,0,1)$ per $V$
La base dello spazio somma, invece, si risolve riducendo con Gauss-Jordan la matrice 3x4 avente come colonne i vettori di base dei due spazi appena trovati;
nel caso specifico, da $((1,0,-2,-3),(-2,3,1,0),(0,1,0,1))$ si trova $((1,0,0,3),(0,1,0,1),(0,0,1,3))$, il che vuol dire che il quarto vettore è linearmente
dipendente. Scegliendo i primi tre (nella matrice non ridotta!) si ha la base dello spazio somma.
Per l'intersezione, è sufficiente risolvere il sistema formato dalle due equazioni.
2) La matrice associata ad un'applicazione lineare ha per colonne i vettori della base del dominio espressi rispetto alla base del codominio.
Siccome $F(e_3)$ è incognito, chiamo genericamente $(a,b,c)$ l'immagine di $e_3$; dalle informazioni che ho, sò che la matrice associata a $F$ è quindi
$[F]_c = ((0,0,a),(0,1,b),(1,0,c))$
Il nucleo è il sottospazio del dominio avente tutti i vettori che hanno il vettore nullo come immagine, quindi bisogna imporre $[F]_c (x,y,z)^T = (0,0,0)^T$
Si trova così il sistema
$az = 0$
$y + bz = 0$
$x + cz = 0$
Sostituendo le coordinate del vettore di base dello spazio intersezione, cioè $(3,3,-1)$, si trova $a = 0$, $b = 3$ e $c = -3$.
3) Non ho capito cosa sia $L$...l'applicazione non si chiama $F$? Comunque, per trovare gli autovalori basta porre
$|[F] - lambda I| = 0$, cioè $|(-lambda,0,0),(0,1-lambda,3),(1,0,-3-lambda)| = 0$
Gli autovalori sono le radici dell'equazione che si trova calcolando il determinante; gli autovettori si ricavano sostituendo uno alla volta gli autovalori cercati nella matrice $[F] - lambda I$ e cercando di volta in volta il nucleo di tale matrice
"VINX89":
1) Per trovare le basi di $U$ e $V$ basta risolvere le due equazioni che descrivono i due spazi:
$y = - 2x + 3z$ e $x = - 2y - 3z$ da cui si ricava, ad esempio, $(1,-2,0)$ e $(0,3,1)$ per $U$ e $(-2,1,0)$ e $(-3,0,1)$ per $V$
La base dello spazio somma, invece, si risolve riducendo con Gauss-Jordan la matrice 3x4 avente come colonne i vettori di base dei due spazi appena trovati;
nel caso specifico, da $((1,0,-2,-3),(-2,3,1,0),(0,1,0,1))$ si trova $((1,0,0,3),(0,1,0,1),(0,0,1,3))$, il che vuol dire che il quarto vettore è linearmente
dipendente. Scegliendo i primi tre (nella matrice non ridotta!) si ha la base dello spazio somma.
Per l'intersezione, è sufficiente risolvere il sistema formato dalle due equazioni.
2) La matrice associata ad un'applicazione lineare ha per colonne i vettori della base del dominio espressi rispetto alla base del codominio.
Siccome $F(e_3)$ è incognito, chiamo genericamente $(a,b,c)$ l'immagine di $e_3$; dalle informazioni che ho, sò che la matrice associata a $F$ è quindi
$[F]_c = ((0,0,a),(0,1,b),(1,0,c))$
Il nucleo è il sottospazio del dominio avente tutti i vettori che hanno il vettore nullo come immagine, quindi bisogna imporre $[F]_c (x,y,z)^T = (0,0,0)^T$
Si trova così il sistema
$az = 0$
$y + bz = 0$
$x + cz = 0$
Sostituendo le coordinate del vettore di base dello spazio intersezione, cioè $(3,3,-1)$, si trova $a = 0$, $b = 3$ e $c = -3$.
3) Non ho capito cosa sia $L$...l'applicazione non si chiama $F$? Comunque, per trovare gli autovalori basta porre
$|[F] - lambda I| = 0$, cioè $|(-lambda,0,0),(0,1-lambda,3),(1,0,-3-lambda)| = 0$
Gli autovalori sono le radici dell'equazione che si trova calcolando il determinante; gli autovettori si ricavano sostituendo uno alla volta gli autovalori cercati nella matrice $[F] - lambda I$ e cercando di volta in volta il nucleo di tale matrice
mi devi scusare VINX, ma ovunque ho usato la lettera L in realtà intendevo F..è stato un errore di digitazione... quindi credo che la risposta del punto 2 sia da rivedere..giusto?
inoltre volevo proporre un altro esercizio :
data la matrice: 0 a 0 0 1)determinare al variare del parametro reale a < 0 gli autovalori
a 0 1 0 2) stabilire per quali valori di a<0 la matrice è diagonalizzabile
0 0 1 0
0 0 0 2
attendo risposte..grazie mille!
data la matrice: 0 a 0 0 1)determinare al variare del parametro reale a < 0 gli autovalori
a 0 1 0 2) stabilire per quali valori di a<0 la matrice è diagonalizzabile
0 0 1 0
0 0 0 2
attendo risposte..grazie mille!
No, per fortuna la risposta 2 non è da rivedere.
La matrice è $A = ((0,a,0,0),(a,0,1,0),(0,0,1,0),(0,0,0,2))$ giusto?
1) Analogamente al punto 3 dell'altro esercizio, bisogna porre $|A - lambda I| = 0$ e trovare le radici dell'equazione; in questo caso, tale equazione risulterà essere parametrica, quindi le soluzioni vanno trovate al variare di a
2) Esite un teorema fondamentale sulla diagonalizzazione secondo cui una matrice è diagonalizzabile se la molteplicità algebrica di ogni autovalore coincide con la dimensione del relativo autospazio (molteplicità geometrica). Per ogni autovalore, quindi, bisogna trovare gli autovettori corrispondenti (vedi punto 3 dell'altro esercizio) e il relativo autospazio da essi generato; se la dimensione coincide sempre con la molteplicità dell'autovalore, allora $A$ è diagonalizzabile
La matrice è $A = ((0,a,0,0),(a,0,1,0),(0,0,1,0),(0,0,0,2))$ giusto?
1) Analogamente al punto 3 dell'altro esercizio, bisogna porre $|A - lambda I| = 0$ e trovare le radici dell'equazione; in questo caso, tale equazione risulterà essere parametrica, quindi le soluzioni vanno trovate al variare di a
2) Esite un teorema fondamentale sulla diagonalizzazione secondo cui una matrice è diagonalizzabile se la molteplicità algebrica di ogni autovalore coincide con la dimensione del relativo autospazio (molteplicità geometrica). Per ogni autovalore, quindi, bisogna trovare gli autovettori corrispondenti (vedi punto 3 dell'altro esercizio) e il relativo autospazio da essi generato; se la dimensione coincide sempre con la molteplicità dell'autovalore, allora $A$ è diagonalizzabile
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