Esercizio sulle applicazioni lineari
Ragazzi saluti a tutti intanto. Avevo dei dubbi su un esercizio, abbastanza semplice per la verità.
"Spiegare perchè esiste un'unica applicazione lineare $F: R_2[x] rArr R_2[x]$ tale che:
$F(1-x+x^2)=3x$
$F(2-x-x^2)=2x-x^2$
$F(3)=1+2x-x^2$
Determinare $M_(b_c,b)(F)$ dove $b={1/2-x+x^2,-3,2x^2-1}$ e $b_c$ è la base canonica."
Come prima cosa vi chiedo se per dimostrare l'unicità dell'applicazione devo dimostrare semplicemente che i vettori, considerando lo spazio $R^3$, $(1,-1,1),(2,-1,-1),(3,0,0)$ formino una base di $R^3$ e che quindi siano linearmente indipendenti; mi pare ci sia un teorema che espliciti questo aspetto.
Per la seconda parte del problema ho un dubbio sulla notazione della matrice che mi richiede: mi sta chiedendo la matrice che ha per colonne le immagini tramite $F$ dei vettori della base canonica espresse come combinazione lineare rispetto alla base $b$ o l'esatto contrario? In sostanza $b_c$ è riferito al dominio e $b$ al codominio o viceversa?
Per trovare eventualmente le immagini della base canonica dovrei fare:
$(1,0,0)=x(1,-1,1)+y(2,-1,-1)+z(3,0,0)$
$(0,1,0)=x(1,-1,1)+y(2,-1,-1)+z(3,0,0)$
$(0,0,1)=x(1,-1,1)+y(2,-1,-1)+z(3,0,0)$
risolvere le tre equazioni e trovare per linearità le immagini dei vettori della canonica. Infine dovrei semplicemente esprimerli come combinazione lineare rispetto alla base $b$ e costruire la matrice. E' corretto?
Vi ringrazio per le eventuali risposte.
"Spiegare perchè esiste un'unica applicazione lineare $F: R_2[x] rArr R_2[x]$ tale che:
$F(1-x+x^2)=3x$
$F(2-x-x^2)=2x-x^2$
$F(3)=1+2x-x^2$
Determinare $M_(b_c,b)(F)$ dove $b={1/2-x+x^2,-3,2x^2-1}$ e $b_c$ è la base canonica."
Come prima cosa vi chiedo se per dimostrare l'unicità dell'applicazione devo dimostrare semplicemente che i vettori, considerando lo spazio $R^3$, $(1,-1,1),(2,-1,-1),(3,0,0)$ formino una base di $R^3$ e che quindi siano linearmente indipendenti; mi pare ci sia un teorema che espliciti questo aspetto.
Per la seconda parte del problema ho un dubbio sulla notazione della matrice che mi richiede: mi sta chiedendo la matrice che ha per colonne le immagini tramite $F$ dei vettori della base canonica espresse come combinazione lineare rispetto alla base $b$ o l'esatto contrario? In sostanza $b_c$ è riferito al dominio e $b$ al codominio o viceversa?
Per trovare eventualmente le immagini della base canonica dovrei fare:
$(1,0,0)=x(1,-1,1)+y(2,-1,-1)+z(3,0,0)$
$(0,1,0)=x(1,-1,1)+y(2,-1,-1)+z(3,0,0)$
$(0,0,1)=x(1,-1,1)+y(2,-1,-1)+z(3,0,0)$
risolvere le tre equazioni e trovare per linearità le immagini dei vettori della canonica. Infine dovrei semplicemente esprimerli come combinazione lineare rispetto alla base $b$ e costruire la matrice. E' corretto?
Vi ringrazio per le eventuali risposte.
Risposte
Ciao Anaklukes 
Sì, l'unicità dell'applicazione deriva dal fatto che esiste un'unica applicazione che trasforma i vettori di una base dello spazio di partenza in vettori diversi dello spazio di arrivo.
Sì, il procedimento è corretto. Così ti ottieni la matrice dalla base canonica a $ b $.
Sinceramente non lo so. Dipende dalla notazione che sfrutta l'eserciziario dal quale lo hai preso. Comunque è probabile che sia dalla canonica a $ b $ perchè altrimenti se fosse il contrario dovresti calcolare solo le immagini dei vettori della base $b $ che richiede meno sforzo
"Anaklukes":
Come prima cosa vi chiedo se per dimostrare l'unicità dell'applicazione devo dimostrare semplicemente che i vettori, considerando lo spazio R3, (1,−1,1),(2,−1,−1),(3,0,0) formino una base di R3 e che quindi siano linearmente indipendenti; mi pare ci sia un teorema che espliciti questo aspetto.
Sì, l'unicità dell'applicazione deriva dal fatto che esiste un'unica applicazione che trasforma i vettori di una base dello spazio di partenza in vettori diversi dello spazio di arrivo.
"Anaklukes":
Per trovare eventualmente le immagini della base canonica dovrei fare:
(1,0,0)=x(1,−1,1)+y(2,−1,−1)+z(3,0,0)
(0,1,0)=x(1,−1,1)+y(2,−1,−1)+z(3,0,0)
(0,0,1)=x(1,−1,1)+y(2,−1,−1)+z(3,0,0)
risolvere le tre equazioni e trovare per linearità le immagini dei vettori della canonica. Infine dovrei semplicemente esprimerli come combinazione lineare rispetto alla base b e costruire la matrice. E' corretto?
Sì, il procedimento è corretto. Così ti ottieni la matrice dalla base canonica a $ b $.
"Anaklukes":
Per la seconda parte del problema ho un dubbio sulla notazione della matrice che mi richiede: mi sta chiedendo la matrice che ha per colonne le immagini tramite F dei vettori della base canonica espresse come combinazione lineare rispetto alla base b o l'esatto contrario? In sostanza bc è riferito al dominio e b al codominio o viceversa?
Sinceramente non lo so. Dipende dalla notazione che sfrutta l'eserciziario dal quale lo hai preso. Comunque è probabile che sia dalla canonica a $ b $ perchè altrimenti se fosse il contrario dovresti calcolare solo le immagini dei vettori della base $b $ che richiede meno sforzo
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