Esercizio sulle applicazioni lineari

[mathief]

Buongiorno ragazzi,martedì ho l'orale della prova di geometria e volevo chiedervi una mano a risolvere un quesito che non mi era mai capitato,o per lo meno che non riesco a capire.

" Data l'applicazione f: R4 $ rarr $ R2 definita da f(x,y,w,z)=(x,y+w-2z), determinarne una base del nucleo e uno dell'immagine. Scrivere la matrice di f rispetto alla base canonica nel dominio e la base {(1,2),(0,3)} del codominio. Infine stabilire se f porta coppie di vettori diversi in coppie diverse, per qualunque scelta."

Fino al calcolo della base canonica nel dominio e l'altra base nel codominio sò fare i calcoli senza problemi...l'ultima parte invece non riesco proprio a capire cosa mi chiede..qualcuno per caso ha gia visto richieste del genere, o per lo meno sà che procedimento utlizzare per risolvere l'ultimo quesito?
Grazie a tutti

[kikkina0909]

Ciao, mi pare che l'ultima domanda in realtà ti chieda se la funzione è iniettiva,
dalla definizione :
In matematica, una funzione iniettiva (detta anche funzione ingettiva oppure iniezione) è una funzione che porta elementi distinti del dominio in elementi distinti del codominio.
Se è così, basta vedere se il nucleo della funzione è pari a solo l'insieme vuoto,
ovvero f è iniettiva $hArr$ Ker f ={0}
quindi se prima hai calcolato la dimensione del nucleo è ti viene diversa da zero la funzione non è iniettiva e non porta coppie diverse in immagini diverse.
Spero che sia corretta l'interpretazione che ho dato a questa frase

[mathief]

Grazie!