Esercizio sulla unicità di un endomorfismo
L'esercizio in questione è il seguente.
Dire per quali valori del parametro reale $ h $ esiste ed è unico l'endomorfismo $ f : R^(3) -> R^(3) $ tale che:
. $ f( 0,1,1) = ( 1,1,0) $
. $ f^(2) = 4 * I $ (con $ I = ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $ )
. $ bar (v)=(2*h-1, 1,h) $ è autovettore rispetto all'autovalore $ 2 $ .
Determinare gli autospazi di $ f $ .
Cosa si può dire per i valori di $ h $ per i quali $ f $ non è unico?
Non so come muovermi, ho provato a ricavare delle informazioni dalla terza condizione, ma non riesco ad utilizzare la seconda che secondo me è fondamentale..
Qualcuno saprebbe aiutarmi? Vi ringrazio!
Dire per quali valori del parametro reale $ h $ esiste ed è unico l'endomorfismo $ f : R^(3) -> R^(3) $ tale che:
. $ f( 0,1,1) = ( 1,1,0) $
. $ f^(2) = 4 * I $ (con $ I = ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $ )
. $ bar (v)=(2*h-1, 1,h) $ è autovettore rispetto all'autovalore $ 2 $ .
Determinare gli autospazi di $ f $ .
Cosa si può dire per i valori di $ h $ per i quali $ f $ non è unico?
Non so come muovermi, ho provato a ricavare delle informazioni dalla terza condizione, ma non riesco ad utilizzare la seconda che secondo me è fondamentale..
Qualcuno saprebbe aiutarmi? Vi ringrazio!
Risposte
Benvenuto/a nel forum. 
Esercizio simpatico. Qualche hint per una parziale soluzione:
1) C'è un solo valore di $h$ per cui i vettori $(0,1,1), (1,1,0), (2h-1,1, h)$ non formano una base $B$ di $RR^3$. Quale?
2) Per $h$ diverso dal valore trovato al punto 1), con le informazioni di cui disponi puoi trovare la matrice associata all'endomorfismo rispetto alla base $B$?
Ho un'idea per completare, ma mi fermo qui, perchè dovrei mettermi a fare un po' di conti, ma non ho tempo, sto andando via.
Ciao!
Esercizio simpatico. Qualche hint per una parziale soluzione:
1) C'è un solo valore di $h$ per cui i vettori $(0,1,1), (1,1,0), (2h-1,1, h)$ non formano una base $B$ di $RR^3$. Quale?
2) Per $h$ diverso dal valore trovato al punto 1), con le informazioni di cui disponi puoi trovare la matrice associata all'endomorfismo rispetto alla base $B$?
Ho un'idea per completare, ma mi fermo qui, perchè dovrei mettermi a fare un po' di conti, ma non ho tempo, sto andando via.
Ciao!
Ciao, ti ringrazio.
I tre vettori $ (0,1,1),(1,1,0),(2*h-1,1,h) $ formano una base di $ R^3 $ per $h!=2/3$. E questo sarebbe il valore cercato per rendere unico l'endomorfismo. Il bello però viene adesso...
So che $ 2 $ è un autovalore della matrice $ F $ che rappresenta l'endomorfismo $f$, dalla condizione $ F^2 = 4*((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$ posso ricavare che:
$F^2=B*D^(2)*B^(-1)$ supponendo $F$ diagonalizzabile e ponendo $D$ = matrice diagonale.
A questo punto dopo qualche calcolo ricavo che $D=4*I$, ossia $F$ ha un autovalore $a=2$ di molteplicità algebrica pari a $3$.
Potrei utlizzare questa informazione per determinare (sfruttando le matrici di cambiamento di base) la matrice $F'$ rispetto alla nuova base...
Sino a questo punto il ragionamento potrebbe andare?
I tre vettori $ (0,1,1),(1,1,0),(2*h-1,1,h) $ formano una base di $ R^3 $ per $h!=2/3$. E questo sarebbe il valore cercato per rendere unico l'endomorfismo. Il bello però viene adesso...
So che $ 2 $ è un autovalore della matrice $ F $ che rappresenta l'endomorfismo $f$, dalla condizione $ F^2 = 4*((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$ posso ricavare che:
$F^2=B*D^(2)*B^(-1)$ supponendo $F$ diagonalizzabile e ponendo $D$ = matrice diagonale.
A questo punto dopo qualche calcolo ricavo che $D=4*I$, ossia $F$ ha un autovalore $a=2$ di molteplicità algebrica pari a $3$.
Potrei utlizzare questa informazione per determinare (sfruttando le matrici di cambiamento di base) la matrice $F'$ rispetto alla nuova base...
Sino a questo punto il ragionamento potrebbe andare?
Purtroppo non puoi supporre che $F$ sia diagonalizzabile, semplicemente perchè non lo sai.
Il mio consiglio è, per $h!=2/3$, trovare la matrice associata alla base $(0,1,1),(1,1,0),(2h-1,1,h)$.
Nota che hai praticamente tutto, ti manca solo trovare $f(1,1,0)$. Ma per fare ciò, puoi usare l'ipotesi che $f^2=4I$.
Il mio consiglio è, per $h!=2/3$, trovare la matrice associata alla base $(0,1,1),(1,1,0),(2h-1,1,h)$.
Nota che hai praticamente tutto, ti manca solo trovare $f(1,1,0)$. Ma per fare ciò, puoi usare l'ipotesi che $f^2=4I$.
Ehehehehe... Uno ci prova!
Ho pensato:
Se $F^2=4*I$ allora posso scrivere $F^(2)*(1,1,0)=4*((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))*(1,1,0)=4*(1,1,0)$.
Questo vuol dire che $F*F*(1,1,0)=4*(1,1,0)$ e quindi $F*(1,1,0)=4*F^(-1)*(1,1,0)=(0,4,4)$?
Ho pensato:
Se $F^2=4*I$ allora posso scrivere $F^(2)*(1,1,0)=4*((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))*(1,1,0)=4*(1,1,0)$.
Questo vuol dire che $F*F*(1,1,0)=4*(1,1,0)$ e quindi $F*(1,1,0)=4*F^(-1)*(1,1,0)=(0,4,4)$?
Scusa il ritardo nella risposta, ho avuto parecchio da fare.
Per sdebitarmi finirò gran parte dell'esercizio.
Innanzitutto per trovare che $F(1,1,0)=(0,4,4)$, bastava il semplice calcolo
$F(1,1,0)=F(F(0,1,1))=F^2(0,1,1)=4(0,1,1)$.
Quindi abbiamo per $h!=2/3$:
$F(0,1,1)=(1,1,0)$,
$F(1,1,0)=4(0,1,1)$,
$F(2h-1,1,h)=2(2h-1,1,h)$.
Pertanto la matrice associata ad $F$ rispetto alla base $(0,1,1),(1,1,0),(2h-1,1,h)$ è
$((0,4,0),(1,0,0),(0,0,2))$.
Passiamo ora al caso $h=2/3$.
Il terzo vettore (quello che dipende dal parametro $h$) diventa $(1/3,1,2/3)$.
E' facile osservare che
(*) $(1,1,0)=-2(1,1,0)+3(1/3,1,2/3)$
Le condizioni date dalla traccia non sono incompatibili fra loro in quanto da (*) si ricava che
$F(1,1,0)=-2F(1,1,0)+3F(1/3,1,2/3)=-2(0,1,1)+3(1/3,1,2/3)=(0,4,4)$
che è quello che si ricava (come abbiamo fatto prima) dalla prima e dalla seconda equazione.
Calcoliamo la matrice associata ad $F$ rispetto alla base $(0,1,1),(1,1,0),(1,0,0)$ (che, come puoi facilmente provare, è effettivamente una base di $RR^3$).
Dalle condizioni poste è nella forma
$A=((0,4,a),(1,0,b),(0,0,c))$
dove $a,b,c$ sono da determinare imponendo la seconda condizione.
Imponendo che $A^2=4I$, a meno di miei errori di calcolo, si ottiene che le possibili soluzioni sono
1) $a=0, b=0, c=2$
2) $a=0, b=0, c=-2$
3) $a=-4, b=2, c=2$
4) $a=-4, b=-2, c=-2$
Per concludere l'esercizio mi restano da studiare gli autospazi di $F$ nel caso $h!=2/3$.
Per sdebitarmi finirò gran parte dell'esercizio.
Innanzitutto per trovare che $F(1,1,0)=(0,4,4)$, bastava il semplice calcolo
$F(1,1,0)=F(F(0,1,1))=F^2(0,1,1)=4(0,1,1)$.
Quindi abbiamo per $h!=2/3$:
$F(0,1,1)=(1,1,0)$,
$F(1,1,0)=4(0,1,1)$,
$F(2h-1,1,h)=2(2h-1,1,h)$.
Pertanto la matrice associata ad $F$ rispetto alla base $(0,1,1),(1,1,0),(2h-1,1,h)$ è
$((0,4,0),(1,0,0),(0,0,2))$.
Passiamo ora al caso $h=2/3$.
Il terzo vettore (quello che dipende dal parametro $h$) diventa $(1/3,1,2/3)$.
E' facile osservare che
(*) $(1,1,0)=-2(1,1,0)+3(1/3,1,2/3)$
Le condizioni date dalla traccia non sono incompatibili fra loro in quanto da (*) si ricava che
$F(1,1,0)=-2F(1,1,0)+3F(1/3,1,2/3)=-2(0,1,1)+3(1/3,1,2/3)=(0,4,4)$
che è quello che si ricava (come abbiamo fatto prima) dalla prima e dalla seconda equazione.
Calcoliamo la matrice associata ad $F$ rispetto alla base $(0,1,1),(1,1,0),(1,0,0)$ (che, come puoi facilmente provare, è effettivamente una base di $RR^3$).
Dalle condizioni poste è nella forma
$A=((0,4,a),(1,0,b),(0,0,c))$
dove $a,b,c$ sono da determinare imponendo la seconda condizione.
Imponendo che $A^2=4I$, a meno di miei errori di calcolo, si ottiene che le possibili soluzioni sono
1) $a=0, b=0, c=2$
2) $a=0, b=0, c=-2$
3) $a=-4, b=2, c=2$
4) $a=-4, b=-2, c=-2$
Per concludere l'esercizio mi restano da studiare gli autospazi di $F$ nel caso $h!=2/3$.
Non potrò mai ringraziarti abbastanza, sei stato chiarissimo! Grazie
Prego 
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