Esercizio sulla trasposta di una applicazione lineare

[G.G211]

Ragazzi ho bisogno di una mano a risolvere questo esercizio:
Sia $ f: V rarr W $ un' applicazione lineare tra i due spazi vettoriali $ V $ e $ W $, siano poi $ B $ base di $ V $, $ D $ base di $ W $, e $ B' $ e $ D' $ le rispettive basi duali.
Sia $ ^tf $ l'aggiunta di $ f $.
Chiamiamo $ A $ la matrice associata ad $ f $ rispetto alle basi $ B $ e $ D $ e chiamiamo $ C $ la matrice associata a $ ^tf $ rispetto alle basi $ D' $ e $ B' $.
Mostrare che $ ^tA=C $.

Spero sia tutto chiaro, in ogni caso grazie in anticipo per le risposte!

[G.G211]

nessuno ha qualche idea?

[maurer]

Si tratta di un classico teorema, la cui dimostrazione è veramente molto noiosa. Assumo che le dimensioni siano finite. Scriviamo [tex]\mathcal B = (\mathbf e_1, \ldots, \mathbf e_n)[/tex], [tex]\mathcal D = (\mathbf f_1, \ldots, \mathbf f_m)[/tex] e siano [tex]\mathcal B' = (\mathbf e^1, \ldots, \mathbf e^n)[/tex], [tex]\mathcal D' = (\mathbf f^1, \ldots, \mathbf f^m)[/tex] le basi duali.

Ora ricordiamo che se [tex]v \in V'[/tex] è un funzionale lineare, allora [tex]v = v(\mathbf e_1) \mathbf e^1 + \ldots + v(\mathbf e_n) \mathbf e^n[/tex]. Allora scrivendo [tex]A = (a_{ij})[/tex], abbiamo
[tex]\displaystyle {}^t f(\mathbf f^j)(\mathbf e_i) = \mathbf f^j(f(\mathbf e_i)) = \mathbf f^j \left( \sum_{h = 1}^m a_{hi} \mathbf f_h \right) = \sum_{h = 1}^m a_{hi} \delta_{jh} = a_{ji}[/tex]

Quindi effettivamente la matrice di [tex]{}^t f[/tex] è la trasposta di [tex]A[/tex].