Esercizio sulla somma diretta
Determinare due sottospazi distinti $V_1$ e $V_2$ tali che $R^4=U+V_1=U+V_2$ (con + si intende la somma diretta)
$U=L$($(0,2,-1,0),(1,2,0,1)$)
So che la somma $U+V$ si dice diretta se ogni vettore di $U+V$ si può esprimere in un unico modo come somma di un vettore di $U$ e di un vettore di $V$.
E so poi che la somma è diretta se $UnnV={0}$
Ma come faccio a determinare questi vettori?
$U=L$($(0,2,-1,0),(1,2,0,1)$)
So che la somma $U+V$ si dice diretta se ogni vettore di $U+V$ si può esprimere in un unico modo come somma di un vettore di $U$ e di un vettore di $V$.
E so poi che la somma è diretta se $UnnV={0}$
Ma come faccio a determinare questi vettori?
Risposte
Puoi fare così (sicuramente c'è un metodo più furbo):
Fissi due basi di $RR^4$ a tuo piacere; spiego il procedimento riferito alla base canonica, per qualunque altra base è uguale.
Tu sai sicuramente che esistono almeno (esattamente) due vettori della base canonica non contenuti in quello spazio vettoriale, in quanto altrimenti si avrebbe $ sube U$, assurdo perchè $U$ ha dimensione 2. Puoi quindi provare, sperimentalmente studiando il rango della matrice, quali sono i due vettori della base canonica non contenuti in $U$. Una volta trovati, hai quattro vettori indipendenti che pertanto generano $RR^4$, ovvero una base, pertanto puoi prendere come $V_1$ il sottospazio generato da quei due vettori della base canonica.
Fissi due basi di $RR^4$ a tuo piacere; spiego il procedimento riferito alla base canonica, per qualunque altra base è uguale.
Tu sai sicuramente che esistono almeno (esattamente) due vettori della base canonica non contenuti in quello spazio vettoriale, in quanto altrimenti si avrebbe $
Non ho capito 
Il suggerimento di Gatto89 è valido:
la dimensione di U deve essere minore (o uguale) della dimensione di$ £RR^4$. Perché avvenga ciò ci devono essere al massimo 4 vettori indipendenti in U, non di più. Allora, se prendi una base di U, come quella che hai scritto tu, sei sicura che non ci possono essere più di 2 vettori linearmente indipendenti in U, perché U ha dimensione 2 (nel tuo caso, in un caso generale hai uno spazio di dimensione n, e un sottospazio di dimensione k
(p.s. Faccio bene a parlare al femminile?)
la dimensione di U deve essere minore (o uguale) della dimensione di$ £RR^4$. Perché avvenga ciò ci devono essere al massimo 4 vettori indipendenti in U, non di più. Allora, se prendi una base di U, come quella che hai scritto tu, sei sicura che non ci possono essere più di 2 vettori linearmente indipendenti in U, perché U ha dimensione 2 (nel tuo caso, in un caso generale hai uno spazio di dimensione n, e un sottospazio di dimensione k
(p.s. Faccio bene a parlare al femminile?)
Sai sicuramente che non possono esserci tutti i vettori della base canonica (o di una qualunque base) in $U$, perchè altrimenti lo spazio generato da questi (ovvero $RR^4$) sarebbe incluso nello spazio generato da $U$, il che è assurdo perchè $RR^4$ ha dimensione 4 e $U$ ha dimensione 2. (per lo stesso motivo, non possono nemmeno essercene 3).
A questo punto sai che due vettori della base canonica sono linearmente indipendenti dai vettori della base $U$, supponiamo che siano $E_1$ e $E_2$. A questo punto hai che ($u_1, u_2, E_1, E_2$) è una base poichè 4 vettori indipendenti di $RR^4$, sai che l'intersezione tra $U$ e $V = <(E_1, E_2)>$ è vuota perchè sono lineamente indipendenti ed hai perciò $RR^4 = U + V$.
Per trovare quali dei vettori della base canonica sono linearmente indipendenti dai vettori di $U$, puoi studiare il rango della matrice (adesso faccio per $E_1$):
$((0, 2, -1, 0),(1, 2, 0, 1),(1, 0, 0, 0))$ ; se il rango è uguale a 3, i vettori sono linearmente indipendenti, viceversa no.
A questo punto sai che due vettori della base canonica sono linearmente indipendenti dai vettori della base $U$, supponiamo che siano $E_1$ e $E_2$. A questo punto hai che ($u_1, u_2, E_1, E_2$) è una base poichè 4 vettori indipendenti di $RR^4$, sai che l'intersezione tra $U$ e $V = <(E_1, E_2)>$ è vuota perchè sono lineamente indipendenti ed hai perciò $RR^4 = U + V$.
Per trovare quali dei vettori della base canonica sono linearmente indipendenti dai vettori di $U$, puoi studiare il rango della matrice (adesso faccio per $E_1$):
$((0, 2, -1, 0),(1, 2, 0, 1),(1, 0, 0, 0))$ ; se il rango è uguale a 3, i vettori sono linearmente indipendenti, viceversa no.
Sì, sono una ragazza...forse ho capito! mi applico un attimo, vedo se mi trovo con il risultato e vi faccio sapere! ^_^ grazie mille!
Perfetto, ci sono riuscita! ho capito e mi trovo anche con i risultati! Grazie per la disponibilità ad entrambi!
De rien 
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