Esercizio sulla rotazione di rette
salve a tutti non riesco a risolvere questo problema qualcuno saprebbe spiegarmi come fare
trovare l' equazione cartesiana della superficie descritta $L$ descritta dai punti di $r: y=0=x-z$ nella rotazione di asse $s: y=0=x-z+1$
Risultato $L: x^2 + 2y^2 +z^2- 2xz + 2x -2z = 0$
trovare l' equazione cartesiana della superficie descritta $L$ descritta dai punti di $r: y=0=x-z$ nella rotazione di asse $s: y=0=x-z+1$
Risultato $L: x^2 + 2y^2 +z^2- 2xz + 2x -2z = 0$
Risposte
Si tratta di un procedimento standard che dovrebbe esserti noto.
Comincio col dire che il vettore direzionale della retta s è $(1,0,1)$ ( fai la verifica).
Si prende poi un qualsiasi punto di s: per esempio il punto $C(0,0,1)$
Si Prende il generico punto di r: $Q(t,0,t) $
Si scrive l'equazione del piano per Q perpendicolare ad s , che nel nostro caso è :
(1) $x+z=2t$
Si scrive l'equazione della sfera di centro il punto C e di raggio CQ. Nel nostro caso tale equazione è :
$x^2+y^2+(z-1)=t^2+(t-1)^2$ .
Ovvero:
(2) $x^2+y^2+z^2-2z=2t^2-2t$
Si mettono a sistema la (1) e la (2) :
\begin{cases}x+z=2t\\x^2+y^2+z^2-2z=2t^2-2t\end{cases}
Si elimina la t dal sistema e si ottiene l'equazione richiesta. Fai tu i calcoli per verifica.
Comincio col dire che il vettore direzionale della retta s è $(1,0,1)$ ( fai la verifica).
Si prende poi un qualsiasi punto di s: per esempio il punto $C(0,0,1)$
Si Prende il generico punto di r: $Q(t,0,t) $
Si scrive l'equazione del piano per Q perpendicolare ad s , che nel nostro caso è :
(1) $x+z=2t$
Si scrive l'equazione della sfera di centro il punto C e di raggio CQ. Nel nostro caso tale equazione è :
$x^2+y^2+(z-1)=t^2+(t-1)^2$ .
Ovvero:
(2) $x^2+y^2+z^2-2z=2t^2-2t$
Si mettono a sistema la (1) e la (2) :
\begin{cases}x+z=2t\\x^2+y^2+z^2-2z=2t^2-2t\end{cases}
Si elimina la t dal sistema e si ottiene l'equazione richiesta. Fai tu i calcoli per verifica.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo