Esercizio sulla forma bilineare

[sasha091]

Salve a tutti facendo, purtroppo ho di nuovo un esercizio che mi ha creato non pochi problemi:
Data la forma bilineare simmetrica su $R^3$

$$ = $v_1w_1 + 2v_2w_2 + 3v_3w_3 - 4v_2w_3 - 4v_3w_2 + v_2w_1 + v_1w_2$

e la base di $R^3$ :

$B$ = $((1),(0),(-1))$ $((3),(3),(3))$ $((-2),(5),(4))$

scrivi:

- la matrice che $S$ che rappresenta $<-,- >$ rispetto alla base canonica C di $R^3$,
- la matrice che $S'$ che rappresenta $<-,- >$ rispetto alla base $B$,
- la matrice che $B$ di cambiamento di base da $C$ a $B$,
- verifica infine che $S' = B^TSB$ cioè che S e S' sono congruenti.
Ora per quanto riguarda il primo punto senza applicare formule sono giunto a questa matrice :

$A$ = $((1,1,0),(1,2,-4),(0,-4,3))$

Ma esiste una formula per trovarsi la matrice associata data da $S_(i,j)$ = $P (b_i, b_j)$ eppure non ho la minima idea di come possa essere usata e non riesco a capire se per trovarmi la matrice di cambiamento di base basta solo trovarmi le coordinate di S rispetto B cosa che ho fatto e non reputo giusta. Vi chiedo gentilmente di illuminarmi!

[Sk_Anonymous]

Matrice di cambiamento di base da $B$ a $C$:

$M_(BtoC)=((1,3,-2),(0,3,5),(-1,3,4))$

Matrice di cambiamento di base da $C$ a $B$:

$M_(CtoB)=((1,3,-2),(0,3,5),(-1,3,4))^(-1)$

Utilizzando la prima, dovresti risolvere il secondo punto: $S'=M_(BtoC)^tSM_(BtoC)$. Anche se, considerando l'ordine delle domande, temo che dovresti procedere per "forza bruta".

[sasha091]

"speculor":Matrice di cambiamento di base da $B$ a $C$:

$M_(BtoC)=((1,3,-2),(0,3,5),(-1,3,4))$

Matrice di cambiamento di base da $C$ a $B$:

$M_(CtoB)=((1,3,-2),(0,3,5),(-1,3,4))^(-1)$

Utilizzando la prima, dovresti risolvere il secondo punto: $S'=M_(BtoC)^tSM_(BtoC)$. Anche se, considerando l'ordine delle domande, temo che dovresti procedere per "forza bruta".

Non mi è molto chiaro un punto, cioè la B rispetto a C ( che rappresenta la base canonica) dà come risultato B??? E C altro non è che l'inversa di B? E poi non c'è un modo per calcolarmi S' senza utilizzare la "forza bruta"? Altrimenti non avrebbe senso dimostrare l'ultimo punto se me lo ricavo da quello

[Sk_Anonymous]

"sasha091":
Verifica infine che $S' = B^TSB$ cioè che S e S' sono congruenti.

Sarebbe meglio utilizzare le notazioni $M_(BtoC)$ e $M_(CtoB)$ per le matrici di cambiamento di base. Con le notazioni che hai utilizzato, non molto chiare, quella è sbagliata. Infatti: $x^tSx=y^tM_(BtoC)^tSM_(BtoC)y=y^tS'y$ e quindi $S'=M_(BtoC)^tSM_(BtoC)$.

"sasha091":
E poi non c'è un modo per calcolarmi S' senza utilizzare la "forza bruta"? Altrimenti non avrebbe senso dimostrare l'ultimo punto se me lo ricavo da quello

Appunto, quello che ho detto alla fine del post precedente. Non è quello del cambiamento di base il metodo "forza bruta" di cui stavo parlando.

[sasha091]

Mi rimane ancora il dubbio di come si calcola la matrice rispetto ad un prodotto scalare rispetto ad una base che non sia la canonica applicando questa formula : $S_(i,j) = P (b_i,b_j)$ cioè con le coordinate

[Sk_Anonymous]

Devi calcolare i $9$ prodotti matriciali che si ottengono prendendo $2$ vettori della base:

$S'_(11)=((1,0,-1))((1,1,0),(1,2,-4),(0,-4,3))((1),(0),(-1))$

$S'_(12)=((3,3,3))((1,1,0),(1,2,-4),(0,-4,3))((1),(0),(-1))$

$S'_(13)=((-2,5,4))((1,1,0),(1,2,-4),(0,-4,3))((1),(0),(-1))$

$S'_(21)=((1,0,-1))((1,1,0),(1,2,-4),(0,-4,3))((3),(3),(3))$

$S'_(22)=((3,3,3))((1,1,0),(1,2,-4),(0,-4,3))((3),(3),(3))$

$S'_(23)=((-2,5,4))((1,1,0),(1,2,-4),(0,-4,3))((3),(3),(3))$

$S'_(31)=((1,0,-1))((1,1,0),(1,2,-4),(0,-4,3))((-2),(5),(4))$

$S'_(32)=((3,3,3))((1,1,0),(1,2,-4),(0,-4,3))((-2),(5),(4))$

$S'_(33)=((-2,5,4))((1,1,0),(1,2,-4),(0,-4,3))((-2),(5),(4))$

Questo è Il metodo "forza bruta" di cui parlavo.

[sasha091]

Era proprio questo che non mi era chiaro! Grazie mille sei stato gentilissimo a scrivere tutte le matrici con le varie sostituzioni dei vettori! Grazie ancora