Esercizio sulla distanza

[Jhonny777]

Buon giorno, mi sono bloccato con questo esercizio e chiedo aiuto.
Nel piano euclideo $E^2$ si consideri la circonferenza $C$ di eq: $(x-2)^2+(y-2)^2=1$ e la retta r di eq: $x+y=1$.
Determinare la distanza $d(C,r)$ dimostrando che $d(C,r)$=inf${|p-q|: p\inC,q\inr}$.

Quindi l'idea sarebbe di fissare un punto $p\inC$ quindi il punto $q\inr$ deve avere minima distanza da $p$ quindi il vettore $q-p$ è ortogonale alla retta $r$. Quindi penso bisogna trovare la retta che passa per il centro di $C$ e ortogonale a $r$.
Le equazioni parametriche della retta sono $x=1-t, y=t$, pero adesso non so piu come procedere coi conti, se mi potete dare una mano vi ringrazio moltissimo.

[anonymous_0b37e9]

Premesso che:

Equazione parametrica della retta

$x+y=1 rarr \{(x=s),(y=-s+1):} ^^ s in RR$

Equazione parametrica della circonferenza

$(x-2)^2+(y-2)^2=1 rarr \{(x-2=cost),(y-2=sint):} rarr \{(x=cost+2),(y=sint+2):} ^^ 0 lt= t lt 2\pi$

Funzione distanza $d(s,t)$

$d(s,t)=sqrt((s-cost-2)^2+(s+sint+1)^2)$

probabilmente, per soddisfare il più fedelmente possibile la richiesta, è necessario determinare l'estremo inferiore della funzione di due variabili di cui sopra nell'insieme:

$A={(s,t) in RR^2 : 0 lt= t lt 2\pi}$

senza consentire considerazioni di carattere geometrico.

[Jhonny777]

Grazie mille

[dissonance]

Secondo me conviene prendere il quadrato della distanza, tanto il minimo è lo stesso, e così si semplificano molto i calcoli delle varie derivate.