Esercizio sulla dimensione
Ragazzi ho un problema, non riesco a risolvere questo esercizio:
Siano $A, B, W sube RR^(3)$ i sottoinsiemi:
$B=span{((1),(1),(1)), ((1),(0),(-1))}$, $A={((x),(y),(z)) $ $in RR^(3)$ $t.c $ $xyz=1}$ e $W$ è l'ortogonale di $B$.
Determinare la dimensione del sottospazio $U={f in Hom(RR^(3), RR^(3))$ $ t.c$ $ f(A)subeW}$
Visto che $A$ non è un sottospazio ho alcune difficoltà a determinare la dimensione dello span di A.
A occhio direi che è $2$ perchè visto che $xyz=1$, quindi $x=1/(yz)$, scelto $y!=0$ e scelto $z!=0$, $x$ dipenderà da questi due. Ma non ne sono sicura.
Qualcuno può aiutarmi? grazie della vostra disponibilità!
Siano $A, B, W sube RR^(3)$ i sottoinsiemi:
$B=span{((1),(1),(1)), ((1),(0),(-1))}$, $A={((x),(y),(z)) $ $in RR^(3)$ $t.c $ $xyz=1}$ e $W$ è l'ortogonale di $B$.
Determinare la dimensione del sottospazio $U={f in Hom(RR^(3), RR^(3))$ $ t.c$ $ f(A)subeW}$
Visto che $A$ non è un sottospazio ho alcune difficoltà a determinare la dimensione dello span di A.
A occhio direi che è $2$ perchè visto che $xyz=1$, quindi $x=1/(yz)$, scelto $y!=0$ e scelto $z!=0$, $x$ dipenderà da questi due. Ma non ne sono sicura.
Qualcuno può aiutarmi? grazie della vostra disponibilità!
Risposte
Siccome $span(A)=RR^3$, il problema è equivalente a chiedere $f(RR^3)subeW.
ma come faccio a dire che $span(A)=RR^(3)$?
Io, non trovando di meglio, ho determinato $(1,1,1)inA$, $(1,2,1/2)inA$ e $(2,1,1/2)inA$ linearmente indipendenti.
ah ok ho capito grazie!
Non dirmi che adesso sai andare avanti! 
ahah so andare avanti solo perchè il mio prof ci ha spiegato come fare questa tipologia di esercizi...
Praticamente dovrebbe essere così: bisogna costruire la matrice associata a un generico endomorfismo di $U$ e il numero di elementi non nulli della matrice ottenuta rappresenta la dimensione di $U$.
Visto che $A$ ha dimensione $3$, una sua base sarà del tipo $B={a_1, a_2, a_3}$.
la dimensione di $W$ invece è 1 perche $dimW=dimRR^(3)-dimB=3-2=1$. Quindi una sua base sarà $B'={w_1,}$.
Visto che $F(A)subeW$ avremo che $F(a_1)=x_1w_1 $ $ F(a_2)=x_2w_1$ $ F(a_3)=x_3w_1$.
Quindi la matrice associata sarà: $((x_1,x_2,x_3),(0,0,0),(0,0,0))$. Il numero dei suoi elementi non nulli è $3$ quindi la dimensione di $U$ è $3$.
Praticamente dovrebbe essere così: bisogna costruire la matrice associata a un generico endomorfismo di $U$ e il numero di elementi non nulli della matrice ottenuta rappresenta la dimensione di $U$.
Visto che $A$ ha dimensione $3$, una sua base sarà del tipo $B={a_1, a_2, a_3}$.
la dimensione di $W$ invece è 1 perche $dimW=dimRR^(3)-dimB=3-2=1$. Quindi una sua base sarà $B'={w_1,}$.
Visto che $F(A)subeW$ avremo che $F(a_1)=x_1w_1 $ $ F(a_2)=x_2w_1$ $ F(a_3)=x_3w_1$.
Quindi la matrice associata sarà: $((x_1,x_2,x_3),(0,0,0),(0,0,0))$. Il numero dei suoi elementi non nulli è $3$ quindi la dimensione di $U$ è $3$.
G.G., stavo scherzando. Convincente. Soprattutto se va bene al tuo prof! 
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