Esercizio sulla diagonalizzazione di un endomorfismo

[GianPetr]

"Sia $F: RR^3 \to RR^3$ l’endomorfismo tale che F(1, 0, 0) = (−1, h, −5), F(1, 1, 0) = (3, h, −9), F(1, 1, 1) = (2, h + 1, −14), h $in$ R. Determinare h $in$ R tale che (1, −1, 1) risulti autovettore di F." Mi potreste aiutare a risolverlo? (h dovrebbe essere uguale a 5)

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Ciao, da regolamento sono richieste riflessioni tue e tentativi di soluzione.

[GianPetr]

"Martino":Ciao, da regolamento sono richieste riflessioni tue e tentativi di soluzione.

Il problema è che è la prima volta che mi capita un esercizio del genere. Oltre all'aver trovato le immagini della base canonica, messe in matrice, (che sono (-1,h,-5), (4,0,-4) e (-1,1,-5)), all'aver trovato l'immagine di (1,-1,1), che è (-6,h+1,-6), e all'aver calcolato il polinomio caratteristico della matrice associata all'endomorfismo rispetto alla base canonica, non so come continuare. Perché il polinomio mi viene un'equazione di terzo grado in cui tutto dipende dal valore di h, quindi non posso neanche usare Ruffini, se non conosco tale valore. Spero di non aver fatto errori di calcolo nel dire le immagini che ho ricavato.

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Hai calcolato $F(1,-1,1)$? Quanto ti viene?

Per farlo devi ovviamente scrivere $(1,-1,1)$ usando la base $(1,0,0)$, $(1,1,0)$, $(1,1,1)$, cioè scrivi

$(1,-1,1) = 2(1,0,0)-2(1,1,0)+(1,1,1)$

e applica $F$ ad ambo i membri. Quello che ti risulta dovrà essere posto uguale a $lambda (1,-1,1)$ (per definizione di autovettore) e poi da questo calcolerai il valore di $lambda$.

[GianPetr]

"Martino":Hai calcolato $F(1,-1,1)$? Quanto ti viene?

Per farlo devi ovviamente scrivere $(1,-1,1)$ usando la base $(1,0,0)$, $(1,1,0)$, $(1,1,1)$, cioè scrivi

$(1,-1,1) = 2(1,0,0)-2(1,1,0)+(1,1,1)$

e applica $F$ ad ambo i membri. Quello che ti risulta dovrà essere posto uguale a $lambda (1,-1,1)$ (per definizione di autovettore) e poi da questo calcolerai il valore di $lambda$.

Ho fatto come dici: esce sempre (-6,h+1,-6). Poi ho posto: h (1,-1,1) = (-6,h+1,-6). Inutile dire che h non esce uguale a 5 (anche se la soluzione data potrebbe essere sbagliata), ma in ogni caso verrebbe a sistema comunque h=-6 e, sostituendo -6 in -h = h+1, -6 = -5, che è impossibile

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$h+1=6$ e quindi $h=5$. Fine.

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L'equazione che devi risolvere è

$(-6,h+1,-6) = lambda (1,-1,1)$

dove le incognite sono $lambda$ e $h$. Tu hai posto senza motivo $lambda$ uguale a $h$. Ma $lambda$ non è necessariamente uguale a $h$.

[GianPetr]

"Martino":L'equazione che devi risolvere è

$(-6,h+1,-6) = lambda (1,-1,1)$

dove le incognite sono $lambda$ e $h$. Tu hai posto senza motivo $lambda$ uguale a $h$. Ma $lambda$ non è necessariamente uguale a $h$.

Caspita! Hai ragione!! Grazie mille, davvero ❤️