Esercizio sulla controimmagine e dubbi

[matemos]

Apro su consiglio del buon Magma un nuovo argomento per poter discutere sulla metodologia risolutiva illustrata e capire dove risieda l'errore nel caso vi sia.
viewtopic.php?f=37&t=182134&start=20

"matemos":Grazie
Allora, provo a buttar giù lo svolgimento più nel dettaglio possibile:
Si ha $f:R^3->R^4$
definita da $f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2,2x_1+x_2+x_3,x_1+x_3,x_2-x_3)$
Matrice associata:
$((1,1,0),(2,1,1),(1,0,1),(0,1,-1))$
Richiesta: calcolare $f^-1(K) con K={(y_1,y_2,y_3,y_4)|y_1+y_2=0}$
In sostanza K è descritto dalla base $(t_1,-t_1,t_2,t_3)$
e $f^-1(K) con K={(x_1,x_2,x_3)|A((x_1),(x_2),(x_3))=((t_1),(-t_1),(t_2),(t_3))}$ con A la matrice associata sopra
quindi:
$((1,1,0,t_1),(2,1,1,-t_1),(1,0,1,t_2),(0,1,-1,t_3))$ riduce $((1,1,0,t_1),(0,-1,1,-3t_1),(0,0,0,t_2+2t_1),(0,0,0,t_3-3t_1))$
Il rango della matrice completa deve essere pari a quella incompleta quindi pone:
$t_2=-t_1$ e $t_3=3t_1$

Risolve quindi:
$((1,1,0,t_1),(0,-1,1,-3t_1),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$
Il sistema impone:
$x_1=t_1-x_2$
$x_3=-3t_1+x_2$7
e ricava la base della controimmagine:
$(1,0,-3)$,$(-1,111)$

[marco.ve1]

La terza colonna della matrice associata rispetto alle basi canoniche dovrebbe essere $(0,1,1,-1)^T$.

[matemos]

Si hai ragione, ho sbagliato a riportarlo in latex ma è giusto nei calcoli.
Ho corretto, grazie

[marco.ve1]

Mi sembra corretto, nota che bastava trovare gli $x \in R^3 $ tali che $x_1 + x_2 = -(2x_1 +x_2 + x_3)$ ovvero $x_3 = -3x_1 -2x_2$ da cui la base ${(1,0,-3),(0,1,-2)}$ di $f^(-1)(K)$ che genera lo stesso spazio trovato da te.

[matemos]

Grazie:

Il problema nasceva per quanto diceva magma qui: viewtopic.php?f=37&t=182134&start=10 ovvero che di immagini non dovrebbero proprio essercene, mentre svolgendo così ci sono. Io penso sia errato quello sopra riportato

Dal 4 post della pagina linkata, prova a darci un occhiata anche tu se ti va, perché mi pare corretto il suo ragionamento e non coi troviamo con questo indicato sopra..

"Magma":[quote="matemos"]

Ad esempio tu come risolveresti un esercizio del genere

Sia $ f:R^3->R^4 $ l'applicazione definita da

$ f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2,2x_1+x_2+x_3,x_1+x_3,x_2-x_3) $

Ho la matrice associata all'applicazione rispetto alle basi canoniche:

$ A=((1,1,0),(2,1,1),(1,0,1),(0,1,-1)) $

Calcolare $ f^-1(K) $ (cioè la controimmagine) con $ K={(y_1,y_2,y_3,y_4)|y_1+y_2=0} $

Esplicito una base di $K$

$K={(y_1,y_2,y_3,y_4)in RR^4|y_1+y_2=0}=mathcal(L){((-1),(1),(0),(0)),((0),(0),(1),(0)),((0),(0),(0),(1))}:=mathcal(L){k_1,k_2,k_3}$

Poiché $K=k_1 uu k_2 uu k_3$, allora $f^(-1)(K)=f^(-1)(k_1 uu k_2 uu k_3)=f^(-1)(k_1)uuf^(-1)(k_2)uuf^(-1)(k_3)$

quindi basta risolvere tre sistemi lineari non emogenei

$Av=k_i, qquad i=1,2,3$

P.S. per tenere la "stanza" pulita, avresti dovuto aprire un nuovo topic [/quote]

Sono incompatibili, inoltre:

"matemos":
Per verificare se i calcoli siano giusti possiamo osservare, per prima cosa, che $r(A)=2$ e quindi che

$Im(f)=mathcal(L){((1),(2),(1),(0)),((1),(1),(0),(1))}$

e notare che

$((-1),(1),(0),(0)),((0),(0),(1),(0)),((0),(0),(0),(1)) notinmathcal(L) {((1),(2),(1),(0)),((1),(1),(0),(1))} $