Esercizio sulla connessione (e per archi)
Vi propongo un esercizio (nel senso che io l'ho già risolto) che mi è piaciuto, sia $X=QQ^\infty$ la compattificazione di Alexandroff di $QQ$, si dimostri che $X$ è connesso ma totalmente sconnesso per archi (le componenti connesse per archi sono i singoletti).
Risposte
Nessuno vuole provarci?
Dai su, proprio nessuno vuole provarci? E fatemi contento, daiii 
È nella mia to do list...
$QQ$ è totalmente sconnesso, e $\infty$ è un punto di dispersione di $QQ^\infty$; gli spazi con un punto di dispersione sono connessi.
Per la connessione per archi, ovviamente ogni cammino a valori in $QQ$ è costante (perché $QQ$ prende la topologia discreta dalla metrica euclidea -whoops, questa è sbagliata; vedi sotto); rimane da vedere che è costante anche un cammino che assume come valore $\infty$.
Per la connessione per archi, ovviamente ogni cammino a valori in $QQ$ è costante (perché $QQ$ prende la topologia discreta dalla metrica euclidea -whoops, questa è sbagliata; vedi sotto); rimane da vedere che è costante anche un cammino che assume come valore $\infty$.
"killing_buddha":Veramente?
...perché $QQ$ prende la topologia discreta dalla metrica euclidea...
No, chiaramente è falso. Quello che volevo dire è che è totalmente disconnesso, quindi l'immagine di un intervallo deve essere un singoletto.
Ora sono d'accordo! 
Ci provo, almeno per il primo pezzo.
A scanso di equivoci: preso uno spazio topologico $(X, \tau)$ e un punto indicato con $\infty \notin X$, chiamo compattificazione di Alexandrof di $X$ lo spazio topologico $(X^{\infty}, \sigma)$ dove:
. $X^{\infty} = X \cup \{\infty\}$
. $\sigma = \tau \cup \{ X^{\infty} - K | K \text{ compatto in } (X, \tau) \}$
Supponiamo che $QQ^{\infty}$ sia sconnesso, ovvero che esistano $A, B \in \sigma$ non vuoti disgiunti tali che $A \cup B= QQ^{\infty}$.
Almeno uno tra $A$ e $B$ deve contenere $\infty$ e dunque non è possibile che $A,B \in \tau$.
Se $A \in \tau$ e $B \notin \tau$ allora esiste un $K$ compatto in $QQ$ tale che $B= QQ^{\infty} - K$ e deve valere $A \cup (QQ^{\infty} - K) = QQ^{\infty}$. Poiché $A$ e $B$ sono disgiunti deve valere $A=K$ ma questo è impossibile perché un compatto di $QQ$ non può coincidere con un aperto di $QQ$ ($\ast$).
Se $A, B \notin \tau$ esistono due compatti $K_a$ e $K_b$ tali che $A= QQ^{\infty} - K_a$ e $B=QQ^{\infty} - K_b$. Poiché $A$ e $B$ sono disgiunti deve valere $K_a = QQ^{\infty} - K_b$ ma questo è impossibile perché un compatto di $QQ$ non può contenere $\infty$.
Quindi $QQ^{\infty}$ è connesso.
($\ast$): Sia $A$ un aperto non vuoto di $QQ$, poiché è non vuoto contiene almeno un $q \in QQ$ e poiché aperto contiene una palla $B_r(q)$ con $r \in RR^+$.
Vedendo questa palla come sottoinsieme di $RR$ essa contiene dunque almeno un numero irrazionale $x \notin QQ$ e una palla $B_s(x) \subset B_r(q) \subset A$.
Tornando a vedere tutto come sottoinsiemi di $QQ$, il ricoprimento aperto $\{ (x-s/n, x+s/n) | n \in NN_0 \} \cup (A - B_s(x))$ di $A$ non ammette sottoricoprimenti finiti e dunque $A$ non può essere compatto.
Spero di non aver scritto troppe scemenze, nel caso, chiedo clemenza.
A scanso di equivoci: preso uno spazio topologico $(X, \tau)$ e un punto indicato con $\infty \notin X$, chiamo compattificazione di Alexandrof di $X$ lo spazio topologico $(X^{\infty}, \sigma)$ dove:
. $X^{\infty} = X \cup \{\infty\}$
. $\sigma = \tau \cup \{ X^{\infty} - K | K \text{ compatto in } (X, \tau) \}$
Supponiamo che $QQ^{\infty}$ sia sconnesso, ovvero che esistano $A, B \in \sigma$ non vuoti disgiunti tali che $A \cup B= QQ^{\infty}$.
Almeno uno tra $A$ e $B$ deve contenere $\infty$ e dunque non è possibile che $A,B \in \tau$.
Se $A \in \tau$ e $B \notin \tau$ allora esiste un $K$ compatto in $QQ$ tale che $B= QQ^{\infty} - K$ e deve valere $A \cup (QQ^{\infty} - K) = QQ^{\infty}$. Poiché $A$ e $B$ sono disgiunti deve valere $A=K$ ma questo è impossibile perché un compatto di $QQ$ non può coincidere con un aperto di $QQ$ ($\ast$).
Se $A, B \notin \tau$ esistono due compatti $K_a$ e $K_b$ tali che $A= QQ^{\infty} - K_a$ e $B=QQ^{\infty} - K_b$. Poiché $A$ e $B$ sono disgiunti deve valere $K_a = QQ^{\infty} - K_b$ ma questo è impossibile perché un compatto di $QQ$ non può contenere $\infty$.
Quindi $QQ^{\infty}$ è connesso.
($\ast$): Sia $A$ un aperto non vuoto di $QQ$, poiché è non vuoto contiene almeno un $q \in QQ$ e poiché aperto contiene una palla $B_r(q)$ con $r \in RR^+$.
Vedendo questa palla come sottoinsieme di $RR$ essa contiene dunque almeno un numero irrazionale $x \notin QQ$ e una palla $B_s(x) \subset B_r(q) \subset A$.
Tornando a vedere tutto come sottoinsiemi di $QQ$, il ricoprimento aperto $\{ (x-s/n, x+s/n) | n \in NN_0 \} \cup (A - B_s(x))$ di $A$ non ammette sottoricoprimenti finiti e dunque $A$ non può essere compatto.
Spero di non aver scritto troppe scemenze, nel caso, chiedo clemenza.
"Bremen000":
A scanso di equivoci: preso uno spazio topologico $(X, \tau)$ e un punto indicato con $\infty \notin X$, chiamo compattificazione di Alexandrof di $X$ lo spazio topologico $(X^{\infty}, \sigma)$ dove:
. $X^{\infty} = X \cup \{\infty\}$
. $\sigma = \tau \cup \{ X^{\infty} - K | K \text{ compatto in } (X, \tau) \}$
In questo caso va bene, ma in generale potrebbe non essere una topologia, per rimediare bisogna chiedere che $K$ sia chiuso oltre che compatto (cosa che nei non $T_2$ non è necessariamente vera).
Supponiamo che $QQ^{\infty}$ sia sconnesso, ovvero che esistano $A, B \in \sigma$ non vuoti disgiunti tali che $A \cup B= QQ^{\infty}$.
Se $A \in \tau$ e $B \notin \tau$ allora esiste un $K$ compatto in $QQ$ tale che $B= QQ^{\infty} - K$ e deve valere $A \cup (QQ^{\infty} - K) = QQ^{\infty}$. Poiché $A$ e $B$ sono disgiunti deve valere $A=K$ ma questo è impossibile perché un compatto di $QQ$ non può coincidere con un aperto di $QQ$ ($\ast$).
Perfetto.
Se $A, B \notin \tau$ esistono due compatti $K_a$ e $K_b$ tali che $A= QQ^{\infty} - K_a$ e $B=QQ^{\infty} - K_b$. Poiché $A$ e $B$ sono disgiunti deve valere $K_a = QQ^{\infty} - K_b$ ma questo è impossibile perché un compatto di $QQ$ non può contenere $\infty$.
Questo secondo me potevi accorciarlo, quando prima avevi detto:
Almeno uno tra $A$ e $B$ deve contenere $\infty$ e dunque non è possibile che $A,B \in \tau$.
potevi aggiungere "ma almeno uno dei due lo deve contenere, dunque non è possibile che $A,B\notin\tau$".
($\ast$): Sia $A$ un aperto non vuoto di $QQ$, poiché è non vuoto contiene almeno un $q \in QQ$ e poiché aperto contiene una palla $B_r(q)$ con $r \in RR^+$.
Vedendo questa palla come sottoinsieme di $RR$ essa contiene dunque almeno un numero irrazionale $x \notin QQ$ e una palla $B_s(x) \subset B_r(q) \subset A$.
Tornando a vedere tutto come sottoinsiemi di $QQ$, il ricoprimento aperto $\{ (x-s/n, x+s/n) | n \in NN_0 \} \cup (A - B_s(x))$ di $A$ non ammette sottoricoprimenti finiti e dunque $A$ non può essere compatto.
Anche qua io avrei fatto in un altro modo, da quando dici "vedendo questa palla come sottoinsieme di $RR$" io avrei detto che non è chiuso, quindi non compatto.
Spero di non aver scritto troppe scemenze, nel caso, chiedo clemenza.
Puoi stare tranquillo, allora
P.S. Questo mi dà modo di rilanciare parzialmente l'esercizio, chiedo di trovare una caratterizzazione interna a $X$ di quando $X^\infty$ è connesso (la seconda parte dell'esercizio rimane comunque da fare).
"otta96":
In questo caso va bene, ma in generale potrebbe non essere una topologia, per rimediare bisogna chiedere che $K$ sia chiuso oltre che compatto (cosa che nei non $T_2$ non è necessariamente vera).
Ma la cosa meravigliosa è che avevo la definizione scritta davanti ma non ho copiato la parola "chiuso" dal foglio al pc. Poi tanto ero in $QQ$ che è di Hausdorff e quindi non me ne sono preoccupato. Grazie per avermelo fatto notare!
"otta96":
Anche qua io avrei fatto in un altro modo, da quando dici "vedendo questa palla come sottoinsieme di $ RR $" io avrei detto che non è chiuso, quindi non compatto.
Mah, in realtà ho fatto così perché ho rimuginato molto su chiusi e aperti di $QQ$. Cioè, $QQ$ è T2 e dunque i compatti sono chiusi ma può essere che ci siano chiusi in $QQ$ che siano pure aperti no? Tipo $(-\sqrt(2), + \sqrt(2))$. Dunque la conclusione $\text{ aperto } \Rightarrow \neg (\text{compatto})$ mi pareva azzardata. Di fatto poi i compatti di $QQ$ credo siano solo insiemi finiti o successioni convergenti in $QQ$ e loro unioni finite, ergo un aperto non è mai compatto.
"otta96":
P.S. Questo mi dà modo di rilanciare parzialmente l'esercizio, chiedo di trovare una caratterizzazione interna a X di quando X∞ è connesso (la seconda parte dell'esercizio rimane comunque da fare).
In questi giorni, in treno o in momenti di particolare creatività cercherò di fare qualcosa sulla seconda parte!
"Bremen000":
Anche qua io avrei fatto in un altro modo, da quando dici "vedendo questa palla come sottoinsieme di $ RR $" io avrei detto che non è chiuso, quindi non compatto.
Eheheh, capita
Mah, in realtà ho fatto così perché ho rimuginato molto su chiusi e aperti di $QQ$. Cioè, $QQ$ è T2 e dunque i compatti sono chiusi ma può essere che ci siano chiusi in $QQ$ che siano pure aperti no?
Certo, (a parte che è vero sempre, ma sono convinto che tu intendessi non banali) perché $QQ$ non è connesso.
Tipo $(-\sqrt(2), + \sqrt(2))$.
Sarabbe meglio scriverlo così $(-\sqrt(2), + \sqrt(2))\capQQ$, ma senz'altro è un esempio che va bene.
Dunque la conclusione $\text{ aperto } \Rightarrow \neg (\text{compatto})$ mi pareva azzardata.
Infatti non era quella l'implicazione a cui stavo pensando, quanto piuttosto a $\text{non chiuso in }RR=>\text{non compatto}$.
Di fatto poi i compatti di $QQ$ credo siano solo insiemi finiti o successioni convergenti in $QQ$ e loro unioni finite, ergo un aperto non vuoto non è mai compatto.
Anche io avevo pensati a quali fossero i compatti di $QQ$, ma mi sono convinto che sono di difficile caratterizzazione, ad esempio quella tua non va bene perché anche ${1/n+1/m|n,m\inNN}\cup{1/n|n\inNN}\cup{0}$ è compatto, ma non è unione FINITA di successioni convergenti, l'osservazione sugli aperti è giusta.
"otta96":
Infatti non era quella l'implicazione a cui stavo pensando, quanto piuttosto a $\text{non chiuso in }RR=>\text{non compatto}$.
Ora ho capito cosa intendevi!
"otta96":
Anche io avevo pensati a quali fossero i compatti di $ QQ $, ma mi sono convinto che sono di difficile caratterizzazione, ad esempio quella tua non va bene perché anche $ {1/n+1/m|n,m\inNN}\cup{1/n|n\inNN}\cup{0} $ è compatto, ma non è unione FINITA di successioni convergenti, l'osservazione sugli aperti è giusta.
Mi sono accorto che sono stato impreciso, volevo dire son compatti in $QQ$
.Immagini di successioni convergenti in $QQ$ unite al loro limite
.Insiemi finiti
Ovviamente anche le loro unioni finite sono compatti.
Come dicevo credevo che fosse vero che questi sono gli unici compatti di $QQ$ ma, come dici, probabilmente mi sbaglio.
L'esempio che hai fatto tu però non l'ho capito benissimo anche perché l'insieme
${1/n+1/m|n,m\inNN}$ è l'immagine di una certa successione perché $NN \times NN$ è in biiezione con $NN$ e se ci aggiungo lo $0$ che dovrebbe essere l'unico punto di accumulazione di questo insieme, ottengo l'immagine di una successione e il suo limite. Ma devo aver frainteso qualcosa
Mi sono accorto che sono stato impreciso, volevo dire son compatti in $QQ$
.Immagini di successioni convergenti in $QQ$ unite al loro limite
.Insiemi finiti
Ovviamente anche le loro unioni finite sono compatti.
Guarda che avevo capito, sinceramente ti eri spiegato prima.
Come dicevo credevo che fosse vero che questi sono gli unici compatti di $QQ$ ma, come dici, probabilmente mi sbaglio.
L'esempio che hai fatto tu però non l'ho capito benissimo anche perché l'insieme
${1/n+1/m|n,m\inNN}$ è l'immagine di una certa successione perché $NN \times NN$ è in biiezione con $NN$ e se ci aggiungo lo $0$ che dovrebbe essere l'unico punto di accumulazione di questo insieme, ottengo l'immagine di una successione e il suo limite. Ma devo aver frainteso qualcosa
Ma te avevi detto successioni CONVERGENTI, se si prendono immagini di successioni qualsiasi non si sta dicendo altro che gli insiemi numerabili, tra cui $QQ$, ma non tutti i numerabili sono compatti.
"otta96":
Guarda che avevo capito, sinceramente ti eri spiegato prima.
Bene
E' che non avevo scritto esplicitamente che ci piazzavo anche il loro limite!
"otta96":
Ma te avevi detto successioni CONVERGENTI, se si prendono immagini di successioni qualsiasi non si sta dicendo altro che gli insiemi numerabili, tra cui $ QQ $, ma non tutti i numerabili sono compatti.
Non volevo dire immagini di qualsiasi successione.
Il mio dubbio era se l'insieme $ {1/n+1/m|n,m\inNN_0} $ non si potesse scrivere come immagine di una qualche successione convergente in $QQ$.
Ma lo sai che forse hai ragione? Io pensavo che quello fosse un controesempio credendo che ${1/n+1/m|n,m\inNN_0}$ avesse come punti di accumulazione $ {1/n|n\inNN_0}\cup{0} $, ma mentre te lo stavo scrivendo mi sono accorto che $1/n$ ci appartengono a quell'insieme...
Quindi forse è giusta quella caratterizzazione.
Quindi forse è giusta quella caratterizzazione.
Chissà, in ogni caso qua abbiamo fior fior di geometri che potranno chiarire questo dubbio!
Tentativo della seconda parte:
Se il cammino non assume il valore infinito allora non può che essere costante essendo continuo anche rispetto alla topologia di $QQ$ ed essendo $QQ$ totalmente disconnesso.
Se il cammino assume il valore $\infty$:
Supponiamo per assurdo esista un cammino $\alpha : [0,1] \to QQ^{\infty}$ continuo e non costante che contiene $\infty$ e anche (essendo non costante) un altro punto, ovvero esistono $x,y$ in $[0,1]$ t.c. $\alpha(x) \ne \alpha(y) = \infty$, senza perdere di generalità considero $x
L'insieme $\{\infty \}$ è chiuso in $Q^{\infty}$ (il suo complementare è $QQ$ che è aperto in $QQ^{infty}$ essendo esso aperto pure in $QQ$). Dunque $C:= \alpha^{-1}(\infty)$ è chiuso.
L'insieme $K:= [x,1] \cap C$ è chiuso perché intersezione di chiusi, è non vuoto ($y \in K$) ed è anche limitato perché contenuto in $[0,1]$. Quindi è compatto dunque ammette un minimo $z$. L'insieme $[x,z]$ è tale che l'unico suo elemento avente per immagine $\infty$ è $z$. Sia $\overline{\alpha}$ il cammino $\alpha$ ristretto a $[x,z]$.
Il cammino $\gamma: = \overline{\alpha} \circ f$ con $f: [0,1] \to [x,z]$ tale che $f(t)= t(z-x)+x$ è ancora un cammino continuo e non costante $\gamma: [0,1] \to QQ^{\infty}$ tale per cui $\exists! p \in [0,1]$ t.c. $\gamma(p) = \infty$.
L'insieme $\gamma([0,1])$ non può contenere un numero finito di punti, se così fosse, chiamatili $q_1, ..., q_N$ si avrebbe che, essendo i singoletti compatti in $Q$ gli insiemi $\{q_1\}, ..., \{q_N\} $ sono chiusi in $QQ^{\infty}$ e dunque gli insiemi $\gamma^{-1}(q_1), ..., \gamma^{-1}(q_N)$ sono chiusi e disgiunti e la loro unione è $[0,1]$ ma esso è connesso: assurdo.
Dunque abbiamo che l'immagine di $\gamma$ deve essere infinita (numerabile) e inoltre c'è un solo punto $p \in [0,1]$ tale che la sua immagine sia $\infty$.
L'insieme $\gamma([0,1] - \{p\})=\gamma[0,1] - \{\infty \}$ è un sottoinsieme di $QQ$ ed è totalmente disconnesso (ha infinite componenti connesse che sono i singoletti) ma $[0,1] - \{p\}$ ne ha solo 2 il che è assurdo.
Dunque ogni cammino $\alpha [0,1] \to QQ^{\infty}$ continuo deve essere costante.
Se il cammino non assume il valore infinito allora non può che essere costante essendo continuo anche rispetto alla topologia di $QQ$ ed essendo $QQ$ totalmente disconnesso.
Se il cammino assume il valore $\infty$:
Supponiamo per assurdo esista un cammino $\alpha : [0,1] \to QQ^{\infty}$ continuo e non costante che contiene $\infty$ e anche (essendo non costante) un altro punto, ovvero esistono $x,y$ in $[0,1]$ t.c. $\alpha(x) \ne \alpha(y) = \infty$, senza perdere di generalità considero $x
L'insieme $\{\infty \}$ è chiuso in $Q^{\infty}$ (il suo complementare è $QQ$ che è aperto in $QQ^{infty}$ essendo esso aperto pure in $QQ$). Dunque $C:= \alpha^{-1}(\infty)$ è chiuso.
L'insieme $K:= [x,1] \cap C$ è chiuso perché intersezione di chiusi, è non vuoto ($y \in K$) ed è anche limitato perché contenuto in $[0,1]$. Quindi è compatto dunque ammette un minimo $z$. L'insieme $[x,z]$ è tale che l'unico suo elemento avente per immagine $\infty$ è $z$. Sia $\overline{\alpha}$ il cammino $\alpha$ ristretto a $[x,z]$.
Il cammino $\gamma: = \overline{\alpha} \circ f$ con $f: [0,1] \to [x,z]$ tale che $f(t)= t(z-x)+x$ è ancora un cammino continuo e non costante $\gamma: [0,1] \to QQ^{\infty}$ tale per cui $\exists! p \in [0,1]$ t.c. $\gamma(p) = \infty$.
L'insieme $\gamma([0,1])$ non può contenere un numero finito di punti, se così fosse, chiamatili $q_1, ..., q_N$ si avrebbe che, essendo i singoletti compatti in $Q$ gli insiemi $\{q_1\}, ..., \{q_N\} $ sono chiusi in $QQ^{\infty}$ e dunque gli insiemi $\gamma^{-1}(q_1), ..., \gamma^{-1}(q_N)$ sono chiusi e disgiunti e la loro unione è $[0,1]$ ma esso è connesso: assurdo.
Dunque abbiamo che l'immagine di $\gamma$ deve essere infinita (numerabile) e inoltre c'è un solo punto $p \in [0,1]$ tale che la sua immagine sia $\infty$.
L'insieme $\gamma([0,1] - \{p\})=\gamma[0,1] - \{\infty \}$ è un sottoinsieme di $QQ$ ed è totalmente disconnesso (ha infinite componenti connesse che sono i singoletti) ma $[0,1] - \{p\}$ ne ha solo 2 il che è assurdo.
Dunque ogni cammino $\alpha [0,1] \to QQ^{\infty}$ continuo deve essere costante.
"Bremen000":
L'insieme $\gamma([0,1])$ non può contenere un numero finito di punti, se così fosse, chiamatili $q_1, ..., q_N$ si avrebbe che, essendo i singoletti compatti in $Q$ gli insiemi $\{q_1\}, ..., \{q_N\} $ sono chiusi in $QQ^{\infty}$ e dunque gli insiemi $\gamma^{-1}(q_1), ..., \gamma^{-1}(q_N)$ sono chiusi e disgiunti e la loro unione è $[0,1]$ ma esso è connesso: assurdo.
Puoi spiegare meglio questa parte? Non ho ben capito che passaggi fai, e nemmeno quale sia l'insieme che stai considerando.
L'insieme $\gamma([0,1] - \{p\})=\gamma[0,1] - \{\infty \}$ è un sottoinsieme di $QQ$ ed è totalmente disconnesso (ha infinite componenti connesse che sono i singoletti) ma $[0,1] - \{p\}$ ne ha solo 2 il che è assurdo.
In realtà ne ha una, perché $p=1$.
"otta96":
Puoi spiegare meglio questa parte? Non ho ben capito che passaggi fai, e nemmeno quale sia l'insieme che stai considerando.
Purtroppo non riesco a scrivere $\gamma(A)$ con $A=[0,1]$, mi toglie le quadre; se sai come si fa, ti prego dimmelo.
Detto $A=[0,1]$ si ha che $\gamma(A)$ non può essere costituito da un numero finito di punti: se così fosse, posto
$\gamma(A)= \{q_1, ..., q_N \}$ si avrebbe che $A= \gamma^{-1}(\{q_1, ..., q_N \}) = \bigcup_{n=1}^N \gamma^{-1}(q_n)$ ma $\{q_n\}$ è chiuso in $Q^{\infty}$ per ogni $n=1:N$ ($\ast$)
In questa maniera avrei scritto $A$ come unione disgiunta di chiusi non vuoti, ma questo è assurdo perché $A$ è connesso.
$(\ast)$ :
Se $q_n \in QQ$ allora $\{q_n\}^c = QQ^{\infty}-\{q_n\}$ è aperto in $QQ^{\infty}$ essendo $\{q_n\}$ compatto in $Q$.
Se $q_n = \infty$ ho già scritto che $\{\infty}$ è un chiuso.
In ogni caso $\{q_n\}$ è un chiuso in $QQ^{\infty}$.
"otta96":
In realtà ne ha una, perché $ p=1 $.
Vero anche questo, l'assurdo dovrebbe esserci comunque.
"Bremen000":
Purtroppo non riesco a scrivere $\gamma(A)$ con $A=[0,1]$, mi toglie le quadre; se sai come si fa, ti prego dimmelo.
Guarda, non so nemmeno io come si fa, a dire il vero mi stupisce abbastanza che nel modo più intuitivo non funzioni.
Vero anche questo, l'assurdo dovrebbe esserci comunque.
Si, si.
Comunque la dimostrazione mi sembra che vada bene, anche in questo caso mi sono posto il problema di caratterizzare quando la compattificazione di Alexandroff di uno spazio sia connessa per archi, ma di questo, a differenza della connessione, non ci sono riuscito.
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