Esercizio sulla connessione (e per archi)

[otta96]

Vi propongo un esercizio (nel senso che io l'ho già risolto) che mi è piaciuto, sia $X=QQ^\infty$ la compattificazione di Alexandroff di $QQ$, si dimostri che $X$ è connesso ma totalmente sconnesso per archi (le componenti connesse per archi sono i singoletti).

[Bremen000]

Mi sa che ti sei dimenticato una parola!

Tu come lo hai risolto?
Dimmi che anche per un matematico non era banale!

[otta96]

"Bremen000":Mi sa che ti sei dimenticato una parola!

Dici la parte finale dell'ultimo messaggio? Correggo.

Tu come lo hai risolto?
Dimmi che anche per un matematico non era banale!

Ti stai riferendo a caratterizzare quando $X^\infty$ è connesso? Se si, a dire la verità non mi è sembrato così difficile (nemmeno banale, in effetti).

[Bremen000]

No, volevo sapere come avevi dimostrato tu che $Q^{\infty}$ non è connesso per archi e se secondo te era un fatto banale da dimostrare!

Per la caratterizzazione di uno spazio tale che la sua compattificazione di Alexandroff sia connessa credo (ma l'ho pensato in questo istante) basti che i compatti dello spazio di partenza abbiamo parte interna vuota. Ma non so se è necessario!

[j18eos]

"Bremen000":...Il mio dubbio era se l'insieme \(\displaystyle\left\{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\mid n,m\in\mathbb{N}_{\geq1}\right\}\) non si potesse scrivere come immagine di una qualche successione convergente in \(\displaystyle\mathbb{Q}\).

E!

"Bremen000":Chissà, in ogni caso qua abbiamo fior fior di geometri che potranno chiarire questo dubbio!

Credo che la successione di sostegno \(\displaystyle\left\{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\mid n,m\in\mathbb{N}_{\geq1}\right\}\) sia una successione di numeri razionali convergenti a \(\displaystyle0\); ma potrei sbagliarmi, dato che non mi reputo un fior fiore di geometra!

[otta96]

"j18eos":[quote="Bremen000"]...Il mio dubbio era se l'insieme \( \displaystyle\left\{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\mid n,m\in\mathbb{N}_{\geq1}\right\} \) non si potesse scrivere come immagine di una qualche successione convergente in \( \displaystyle\mathbb{Q} \).

Credo che la successione di sostegno \( \displaystyle\left\{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\mid n,m\in\mathbb{N}_{\geq1}\right\} \) sia una successione di numeri razionali convergenti a \( \displaystyle0 \); ma potrei sbagliarmi, dato che non mi reputo un fior fiore di geometra! [/quote]
Stavo giusto ripensando a quella questione oggi.... e mi sono abbastanza convinto che in realtà non lo sia.
Il motivo dovrebbe essere che: se fosse convergente a $0$, ogni sua sottosuccessione convergerebbe a $0$, ma ci sono sottosuccessioni convergenti a (ad esempio) $1/2$. Inoltre non dovrebbe essere nemmeno unione finita di successioni convergenti perché altrimenti avrebbe un insieme finito di limiti di sue sottosuccessioni, ma così non è, in quanto esistono sottosucessioni convergenti a $1/n,AAn\inNN$.
Ditemi cosa ne pensate.

[j18eos]

Attenzione!

Se consideriamo la successione doppia \(\displaystyle(m,n)\in\mathbb{N}_{\geq1}\times\mathbb{N}_{\geq1}\mapsto\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\in\mathbb{Q}_{>0}\), essa ammette delle successioni estratte non convergenti a \(\displaystyle 0\)!, e confesso che non conosco eventuali nozioni di convergenza per le successioni doppie...

Se, invece, come ho pensato io, consideriamo la successione dove al numero naturale \(\displaystyle k\) si associa il \(\displaystyle k\)-esimo elemento dell'insieme \(\displaystyle\left\{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\in\mathbb{Q}_{>0}\mid m,n\in\mathbb{N}_{\geq1}\right\}\), ordinato in ordine decrescente, secondo l'ordine usuale di \(\displaystyle\mathbb{Q}_{>0}\); questa converge a \(\displaystyle0\)!

[otta96]

Sono da cellulare quindi non posso fare un post molto lungo, comunque lasciamo pure stare le successioni doppie e limitiamoci a quelle normali, la questione è se quell'insieme si possa scrivere come successione convergente, ma mi sembra che se si procede come hai detto nell'ultimo messaggio direi che la successione che si ottiene è $1+1/n$, quindi converge a $1$ e in particolare non è suriettiva (non potrebbe esserlo anche perché sennò quell'insieme sarebbe isomorfo come insieme ordinato, che però è isomorfo a $\omega^2$, non a $\omega$) .

[Bremen000]

Forse questo può essere d'aiuto:
https://math.stackexchange.com/question ... -rationals

@otta96:
Se non sono troppo insistente, potresti rispondere alle altre cose che ti ho chiesto?

[otta96]

"Bremen000":Forse questo può essere d'aiuto:
https://math.stackexchange.com/question ... -rationals

Conferma quello che dicevo io (lui fa l'esempio di con un'altra successione, ma la sostanza è la stessa).

@otta96:
Se non sono troppo insistente, potresti rispondere alle altre cose che ti ho chiesto?

Non sei troppo insistente tranquillo, ora rispondo, immagino tu ti riferisca ad

"Bremen000":No, volevo sapere come avevi dimostrato tu che $ Q^{\infty} $ non è connesso per archi e se secondo te era un fatto banale da dimostrare!

sinceramente non mi ricordo benissimo come avevo fatto, vediamo se mi torna in mente mentre lo scrivo...
Notazione: $X=QQ^\infty$, $p=\infty$, $I=[0,1]$.
Osservazione preliminare: le componenti connesse dei punti di $X$ diversi da $p$ o sono i punti stessi o contengono $p$, perché se non contenessero $p$, si potrebbero vedere semplicemente in $QQ$.
Il nostro scopo è di calcolare la componente connessa per archi di $p$, supponiamo ci stia almeno un altro punto, $q$ (chiaramente $q\inQQ$) allora $EE\gamma:I->X|\gamma(0)=p,\gamma(1)=q$ continua, considero $Y=\gamma^(-1)(p)$. questo è chiuso perché $\gamma$ è continua e $p$ è chiuso, ($QQ$ è aperto), allora è compatto.
Ma in ogni componente connessa di $I\setminusY$ la funzione deve essere costante, perché l'immagine deve essere un connesso tutto contenuto in $QQ$ e non vuoto.
Ora si ha che se prendo il massimo di $Y$ (che esiste perchè $Y$ è compatto e non vuoto) e lo chiamo $x_0$, quindi posso conludere che la funzione $\beta:[x_0,1]->X|\beta(x_0)=p,\beta(x)=q,AAx_0

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[Bremen000]

Capito, be' è molto simile alla mia! Grazie per il bell'esercizio comunque, per me non è stato per nulla banale!

[otta96]

Comunque per l'altra cosa prova a vedere che succede se $X$ ha un aperto compatto....