Esercizio sulla base di un supplementare in $RR^4$
Esercizio.
In $RR^4$ si consideri il sottospazio $W_2=\mathcal{L} (e,f,g)$ dove $e=(-1,1,5,4)$, $f=(0,3,-2,1)$, $g=(2,7,-16,-5)$. Trovare la dimensione e una base di un sottospazio $W_3$ di $RR^4$ tale che $W_3 oplus W_2 = RR^4$.
Soluzione. Buongiorno a tutti
Vi spiego che cosa ho fatto: innanzitutto, si vede che $g$ è combinazione lineare (d'ora in poi c.l.) di $e$ e $f$ ($g=-2e+3f$), mentre invece $e$ e $f$ sono linearmente indipendenti (l.i.). Quindi $W_2$ ha dimensione due e una sua base è $B=(e,f)$. Ok fin qui?
Adesso, devo determinare un suo supplementare in $RR^4$. Dalla teoria so che:
1. $W_3$ deve avere anche lui dimensione 2;
2. per trovare una base di $W_3$ devo completare una base di $W_2$ ad una di $RR^4$. I vettori che ho aggiunto mi daranno una base di $W_3$.
Quindi, comincio a dire che sto cercando due vettori $x,y in RR^4$ tali che $RR^4=\mathcal{L}(e,f,x,y)$. In particolare, se faccio in modo che i quattro vettori $e, f,x,y$ siano l.i. allora sono a posto: ho quattro vettori l.i. $=>$ sono sicuro che sono anche generatori e mi danno tutto $RR^4$.
Fila il ragionamento?
Prendiamo allora la matrice $A$:
$ ( ( -1 , 1 , 5 , 4 ),( 0 , 3 , -2, 1 ),( 0 , 0 , 1 ,0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) ) $
E' ridotta per righe e ha evidentemente rango massimo, cioè $4$. Questo significa che posso prendere $x$ e $y$ dalle ultime due righe: $x=(0,0,1,0),$ $y=(0,0,0,1) => (e,f,x,y) " costituisce una base di " RR^4 => (x,y) " costituisce una base di " W_3$.
Il mio problema qual è? E' questo: nelle soluzioni dell'esercizio c'è scritto che $W_3=\mathcal{L}(v_1, v_2)$ dove $v_1=(0,1,5,0)$, $v_2=(0,0,2,0)$. Ok, sono consapevole che esistono infinite basi di uno spazio ma... Il secondo vettore ($(0,0,2,0)$) è ok, nel senso che è come il mio (è proporzionale a $(0,0,1,0)$) quindi no problem. Ma il primo vettore da dove salta fuori? Stando ai miei conti $(0,1,5,0) !in W_3$ perchè non è c.l. di $(0,0,1,0)$ e $(0,0,0,1)$.
Che cosa ho combinato?
Grazie in anticipo per il vostro aiuto.
In $RR^4$ si consideri il sottospazio $W_2=\mathcal{L} (e,f,g)$ dove $e=(-1,1,5,4)$, $f=(0,3,-2,1)$, $g=(2,7,-16,-5)$. Trovare la dimensione e una base di un sottospazio $W_3$ di $RR^4$ tale che $W_3 oplus W_2 = RR^4$.
Soluzione. Buongiorno a tutti
Vi spiego che cosa ho fatto: innanzitutto, si vede che $g$ è combinazione lineare (d'ora in poi c.l.) di $e$ e $f$ ($g=-2e+3f$), mentre invece $e$ e $f$ sono linearmente indipendenti (l.i.). Quindi $W_2$ ha dimensione due e una sua base è $B=(e,f)$. Ok fin qui?
Adesso, devo determinare un suo supplementare in $RR^4$. Dalla teoria so che:
1. $W_3$ deve avere anche lui dimensione 2;
2. per trovare una base di $W_3$ devo completare una base di $W_2$ ad una di $RR^4$. I vettori che ho aggiunto mi daranno una base di $W_3$.
Quindi, comincio a dire che sto cercando due vettori $x,y in RR^4$ tali che $RR^4=\mathcal{L}(e,f,x,y)$. In particolare, se faccio in modo che i quattro vettori $e, f,x,y$ siano l.i. allora sono a posto: ho quattro vettori l.i. $=>$ sono sicuro che sono anche generatori e mi danno tutto $RR^4$.
Fila il ragionamento?
Prendiamo allora la matrice $A$:
$ ( ( -1 , 1 , 5 , 4 ),( 0 , 3 , -2, 1 ),( 0 , 0 , 1 ,0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) ) $
E' ridotta per righe e ha evidentemente rango massimo, cioè $4$. Questo significa che posso prendere $x$ e $y$ dalle ultime due righe: $x=(0,0,1,0),$ $y=(0,0,0,1) => (e,f,x,y) " costituisce una base di " RR^4 => (x,y) " costituisce una base di " W_3$.
Il mio problema qual è? E' questo: nelle soluzioni dell'esercizio c'è scritto che $W_3=\mathcal{L}(v_1, v_2)$ dove $v_1=(0,1,5,0)$, $v_2=(0,0,2,0)$. Ok, sono consapevole che esistono infinite basi di uno spazio ma... Il secondo vettore ($(0,0,2,0)$) è ok, nel senso che è come il mio (è proporzionale a $(0,0,1,0)$) quindi no problem. Ma il primo vettore da dove salta fuori? Stando ai miei conti $(0,1,5,0) !in W_3$ perchè non è c.l. di $(0,0,1,0)$ e $(0,0,0,1)$.
Che cosa ho combinato?
Grazie in anticipo per il vostro aiuto.
Risposte
Ciao Paolo!
Non ho ben capito il tuo problema. Ti sembra strano che il vettore scelto dalla soluzione del libro non appartiene al tuo spazio? Non mi sembra grave, dato che come hai detto il supplementare non è unico. Tu hai scelto uno spazio $W_3$ le cui equazioni cartesiane saranno $x=0,y=0$, quindi quel vettore non vi appartiene evidentemente. Per vedere se hai fatto giusto prendi quel vettore e considera una combinazione lineare della base di $RR^4$ trovata e verifica che effettivamente vi appartenga.
Non ho ben capito il tuo problema. Ti sembra strano che il vettore scelto dalla soluzione del libro non appartiene al tuo spazio? Non mi sembra grave, dato che come hai detto il supplementare non è unico. Tu hai scelto uno spazio $W_3$ le cui equazioni cartesiane saranno $x=0,y=0$, quindi quel vettore non vi appartiene evidentemente. Per vedere se hai fatto giusto prendi quel vettore e considera una combinazione lineare della base di $RR^4$ trovata e verifica che effettivamente vi appartenga.
"mistake89":
Ciao Paolo!
Non ho ben capito il tuo problema. Ti sembra strano che il vettore scelto dalla soluzione del libro non appartiene al tuo spazio? Non mi sembra grave, dato che come hai detto il supplementare non è unico. Tu hai scelto uno spazio $W_3$ le cui equazioni cartesiane saranno $x=0,y=0$, quindi quel vettore non vi appartiene evidentemente. Per vedere se hai fatto giusto prendi quel vettore e considera una combinazione lineare della base di $RR^4$ trovata e verifica che effettivamente vi appartenga.
Hey, ciao!
Grazie per la risposta.
Effettivamente, mi sto ponendo un dubbio un po' scemo, è vero.
Il supplementare non è unico. Non ho solo ben capito ciò che intendi qui:
Per vedere se hai fatto giusto prendi quel vettore e considera una combinazione lineare della base di $RR^4$ trovata e verifica che effettivamente vi appartenga.
A che vettore ti riferisci?
Comunque, è giusto quello che ho fatto? tu che dici?
Grazie ancora.
Sì, ho controllato sommariamente i calcoli ma mi sembra tutto giusto!
Comunque mi riferivo al vettore $v=(0,1,5,0)$. Era solamente per farti rendere conto che effettivamente realizzandosi la somma diretta, anche se $v$ non appartiene a $W_3$, lo puoi scrivere come combinazione lineare della base da te trovata.
Ti ho detto ciò solo che per fugare ogni possibile equivoco sulla somma diretta o altro... diciamo pure un eccesso di altruismo
Comunque mi riferivo al vettore $v=(0,1,5,0)$. Era solamente per farti rendere conto che effettivamente realizzandosi la somma diretta, anche se $v$ non appartiene a $W_3$, lo puoi scrivere come combinazione lineare della base da te trovata.
Ti ho detto ciò solo che per fugare ogni possibile equivoco sulla somma diretta o altro... diciamo pure un eccesso di altruismo
Scusate se mi intrometto. Volevo convincere Paolo, sulla non unicità del supplementare con un ulteriore esempio.
Cerca di visualizzare quanto sto per dirti. Forse non è il massimo del rigore, ma può farti intuire come vanno le cose.
Prendi i vettori dello spazio tridimensionale applicati nell'origine $O$ (cioè tutti i vettori dello spazio che partono da $O$).
La somma fra vettori è definita con la regola del parallelogramma e il prodotto di un vettore per uno scalare reale è definito nella maniera solita.
Si tratta di uno spazio vettoriale su $RR$ con base canonica $i,j,k$ (i tre vettori di lunghezza unitaria relativi all'asse $x,y,z$ rispettivamente).
Non penso sia complicato capire che si tratta di uno spazio vettoriale su $RR$ di dimensione $3$ (denotiamolo con $V_0$).
Bene, detto questo, considera lo spazio $W$ generato da $i$ e $j$. Si intuisce che $W$ è formato dai vettori che partendo da $O$ giacciono sul piano $xy$. Ci sei?
Ora, troviamo un supplementare di $W$ in $V_0$:
Beh, il primo che mi viene in mente è quello generato dal vettore $k$. Si capisce perchè lo spazio generato da $k$ è un supplementare di $W$?
Ma poi osservo che se prendo un qualsiasi altro vettore applicato in $O$ che non giace sul piano $xy$ (ovvero che non sta in $W$) ottengo un supplementare!
Per esempio, posso prendere direzioni un po' storte rispetto alla verticale e continuo ad ottenere spazi supplementari!
Come vedi ci sono infiniti supplementari dello spazio $W$!
Scusa se non sono stato molto formale, ma volevo rendere l'idea...spero di averlo fatto e non averti confuso...ciao!
Cerca di visualizzare quanto sto per dirti. Forse non è il massimo del rigore, ma può farti intuire come vanno le cose.
Prendi i vettori dello spazio tridimensionale applicati nell'origine $O$ (cioè tutti i vettori dello spazio che partono da $O$).
La somma fra vettori è definita con la regola del parallelogramma e il prodotto di un vettore per uno scalare reale è definito nella maniera solita.
Si tratta di uno spazio vettoriale su $RR$ con base canonica $i,j,k$ (i tre vettori di lunghezza unitaria relativi all'asse $x,y,z$ rispettivamente).
Non penso sia complicato capire che si tratta di uno spazio vettoriale su $RR$ di dimensione $3$ (denotiamolo con $V_0$).
Bene, detto questo, considera lo spazio $W$ generato da $i$ e $j$. Si intuisce che $W$ è formato dai vettori che partendo da $O$ giacciono sul piano $xy$. Ci sei?
Ora, troviamo un supplementare di $W$ in $V_0$:
Beh, il primo che mi viene in mente è quello generato dal vettore $k$. Si capisce perchè lo spazio generato da $k$ è un supplementare di $W$?
Ma poi osservo che se prendo un qualsiasi altro vettore applicato in $O$ che non giace sul piano $xy$ (ovvero che non sta in $W$) ottengo un supplementare!
Per esempio, posso prendere direzioni un po' storte rispetto alla verticale e continuo ad ottenere spazi supplementari!
Come vedi ci sono infiniti supplementari dello spazio $W$!
Scusa se non sono stato molto formale, ma volevo rendere l'idea...spero di averlo fatto e non averti confuso...ciao!
Ok, perfetto. Vi ringrazio molto per le delucidazioni.
Grazie mille, cirasa, per il tuo post molto chiaro e utile.
Grazie mille, cirasa, per il tuo post molto chiaro e utile.
Lieto di esserti stato utile! 
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