Esercizio sul prodotto scalare

[michael891]

ciao a tutti.
ho un problema di algebra lineare che non riesco a capire.
dato il prodotto scalare =integrale tra -pigreco e pigreco di f(x)g(x)dx generato dale funzioni{1,senx,cosx} trovare:
-la matrice associata al prodotto scalare rispetto alla base {1,senx,cosx}
-dire se tale prodotto scalare è degenere o non degenere
-trovare se esiste un vettore isotropo non nullo
-trovare se esiste una base ortonormale

allora la matrice associata dovrebbe essere
2pigreco 2 0
2 pigreco 0
0 0 pigreco
il determinante di tale matrice è diverso da zero quindi il prodotto scalare è non degenere.
gli ultimi due punti non riesco a completarli.un vettore isotropo dovrebbe essere un vettore tale che =0 ma non so come fare.per la base ortonormale so che bisogna usare gram schmidt ma non riesco a capire a quali vettori devo applicarlo.
qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi gli ultimi due punti magari mostrandomi i passaggi che devo fare?vi ringrazio.
michael

[dissonance]

Ciao! Per prima cosa ti consiglio di dare un'occhiata qui: https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
Veniamo poi alla ricerca di un vettore isotropo. La definizione la sappiamo, si tratta di un vettore ortogonale a tutti gli altri oppure, equivalentemente, di un vettore che abbia norma nulla (dove per norma intendo $||f||=sqrt(langlef, f\rangle$).
Ora, in forma esplicita la norma è: $||f||=sqrt(int_{-pi}^pif^2(x)"dx")$. Io sfrutterei il fatto che l'integrale di una funzione continua e positiva è nullo se e solo se la funzione è nulla. (E' facile da dimostrare: se in un punto una funzione non negativa è $>0$, allora deve essere strettamente positiva in tutto un intorno, da cui segue la tesi).

Per concludere, osserviamo che ogni $f$ nel tuo spazio vettoriale di funzioni è certamente continua, perché combinazione lineare di funzioni continue. Consegue che $f^2$ è una funzione continua e positiva. Quindi un vettore isotropo c'è ma è necessariamente la funzione nulla e quindi il vettore nullo.

[michael891]

quindi per il vettore isotropo basta che trovo una f tale che quell'integrale di f^2 sia nullo giusto?ma la f deve essere una tra{1,senx,cosx} oppure anche un'altra f che annulla la norma va bene?

[dissonance]

"michael89":ma la f deve essere una tra{1,senx,cosx} oppure anche un'altra f che annulla la norma va bene?

Nessuna delle due. Innanzitutto chiariamo una cosa: noi stiamo considerando lo spazio vettoriale delle combinazioni lineari di $1, sinx, cosx$. In genere si indica con $"span"(1, sinx, cosx)$, noi lo chiameremo $V$. Questa è la prima cosa da fissare. Tutto quello che succede fuori da $V$ non ci interessa.

Quindi il vettore isotropo lo cercheremo in $V$. Prendiamo allora una funzione $f$ in $V$: per definizione questa $f$ è una combinazione lineare di $1, sinx, cosx$ (polinomio trigonometrico). Esistono quindi tre scalari $lambda_1, lambda_2, lambda_3$ tali che $f(x)=lambda_1*1+lambda_2*sinx+lambda_3*cosx$. In particolare, $f$ è continua in $[-pi, pi]$.

Questo significa che la funzione $f^2$ è continua e positiva in $[-pi, pi]$. Per il lemma che citavo prima, l'integrale $int_(-pi)^pif^2(x)"dx"$ è nullo se e solo se $f^2=0$, quindi se e solo se $f=0$. Concludiamo che l'unico vettore isotropo in $V$ è la funzione identicamente nulla.

[michael891]

ok grazie,ho capito.quindi se la funzione espressa come combinazione lineare delle funzioni che generano il prodotto scalare è continua $f^2$ sarà continua e positiva e quindi l'integrale sarà nullo se $f=0$ cioè il vettore isotropo esiste ma è nullo.quale puo essere un esempio in cui esiste un vettore isotropo non nullo?
per esempio se io ho il prodotto scalare $=\int_{-1}^1 f(x)g(x)dx$ generato dalle funzioni $(sqrt(x),senx,cosx)$ un vettore isotropo lo devo cercare nella funzione $f(x)=\lambda_1 sqrt(x) + \lambda_2 senx+ \lambda_3 cosx$.questa funzione è definita per $x>=0$ quindi non è definita in tutto l'intervallo $(-1,1)$ .un vettore isotropo lo posso trovare dando a $\lambda_1$ il valore $1$ e a $\lambda_{2,3}$ il valore $0$ .cosi $\int_{-1}^1 f^2(x)dx = \int_{-1}^1xdx=0$.quindi il vettore isotropo è $(sqrt(x),0,0)$.
va bene?

[dissonance]

"michael89":ok grazie,ho capito.quindi se la funzione espressa come combinazione lineare delle funzioni che generano il prodotto scalare è continua f^2 sarà continua e positiva e quindi l'integrale sarà nullo se f=0 cioè il vettore isotropo esiste ma è nullo.quale puo essere un esempio in cui esiste un vettore isotropo non nullo?

Ci sono spazi vettoriali con vettori isotropi non nulli, e io ne costruirei uno più semplice: prendiamo lo spazio $RR^2$. Invece del solito prodotto scalare "$*$", definiamo $\langle (x_1,y_1) ;(x_2, y_2) \rangle= x_1x_2$ (Ho messo il punto e virgola perché con la virgola non veniva visualizzato correttamente). Che questo sia effettivamente un prodotto scalare si capisce facilmente. Ma consideriamo il vettore $(0, 1)$ che non è nullo: nonostante questo, $\langle(0,1); (0,1)\rangle=0*0$. Quindi in questo spazio vettoriale $(0,1)$ è un vettore isotropo non nullo.

"micheal89":
per esempio se io ho il prodotto scalare $=\int_{-1}^1 f(x)g(x)dx$ generato dalle funzioni $(sqrt(x),senx,cosx)$ un vettore isotropo lo devo cercare nella funzione $f(x)=\lambda_1 sqrt(x) + \lambda_2 senx+ \lambda_3 cosx$.questa funzione è definita per $x>=0$ quindi non è definita in tutto l'intervallo $(-1,1)$ .un vettore isotropo lo posso trovare dando a $\lambda_1$ il valore $1$ e a $\lambda_{2,3}$ il valore $0$ .cosi $\int_{-1}^1 f^2(x)dx = \int_{-1}^1xdx=0$.quindi il vettore isotropo è $(sqrt(x),0,0)$.
va bene?

Non riesco a capire per quale motivo le tue formule non vengano interpretate come tali. Forse stai mettendo il simbolo "" davanti al dollaro?
Comunque, ho capito cosa vuoi dire. Ma come esempio non va bene, c'è un errore di fondo: non ha senso definire un prodotto scalare come quello se poi le funzioni che consideri non sono integrabili in $[-1, 1]$. Cosa significa integrare $sqrt(x)$ per $x$ negative? Niente: quindi anche il prodotto scalare indicato qui non è ben definito.

E infine, con questo prodotto scalare basato su un integrale, non riuscirai mai a costruire spazi con vettori isotropi non nulli se consideri funzioni continue. Infatti per le funzioni continue varrà sempre il fatto che $f^2$ è continua e positiva. Dovresti considerare funzioni con discontinuità. Per esempio, una funzione $f$ definita su $[-1, 1]$ che vale 0 su tutto l'intervallo tranne che in 0, dove vale 1. Costruisci uno spazio di funzioni definite su $[-1, 1]$ includendo anche questa $f$, considera il prodotto scalare $\langlephi, psi\rangle=int_(-1)^1phi(t)psi(t)"dt"$ e ottieni uno spazio vettoriale di funzioni con un vettore isotropo non nullo.

[michael891]

ok quindi se il prodotto scalare è definito da un integrale e generato da funzioni continue non esisteranno vettori isotropi non nulli.e se invece il prodotto scalare fosse definito da una derivata?
esempio=f '($\pi$/3)g '($\pi$/3) generato dalle funzioni ($e^x$,senx,cosx)
-trovare un vettore isotropo
allora per costruire la matrice associata S devo tenere conto che sij= quindi s11=$e^(2/3\pi)$ s12=s21=$sqrt(3)/2(e^(\pi/3))$ etc
quindi anche qui non dovrebbe esistere un vettore isotropo non nullo.se con gli integrali avevo che non esistono vettori isotropi non nulli se le funzioni erano continue nell'intervallo qui il fatto che le funzioni siano o meno derivabili nel punto $\pi/3$ c'entra qualcosa con l'esistenza o meno di vettori isotropi non nulli?

[dissonance]

...il fatto che le funzioni siano o meno derivabili nel punto $pi/3$ c'entra qualcosa con...

No, aspetta, non mi sono spiegato bene prima evidentemente. Lo spazio vettoriale che consideri, in questo caso $V="span"(e^x, sinx, cosx)$, deve contenere solo funzioni derivabili in $pi/3$, se vuoi definire il prodotto scalare mediante derivata in $pi/3$. Rileggiti la definizione di prodotto scalare e riflettici sopra. Se due funzioni $f, g$ non sono derivabili in $pi/3$, che senso può avere la scrittura $\langlef, g\rangle=f'(pi/3)g'(pi/3)$? Te lo dico io: nessuno.
In questo caso l'esistenza di vettori isotropi non nulli è legata a qualcosa di molto semplice. Ti consiglio di provare da solo. Considera una funzione $f$, derivabile in $pi/3$. Cosa deve succedere perché $\langlef, f\rangle=0$? Ripeto, è molto facile.

[michael891]

allora considero la funzione f=$\lambda1e^x +\lambda2senx +\lambda3cosx$ devo trovare una f tale che =0 quindi una f tale che =[f '($\pi/3$)]^2=0.
basta che trovo una f tale che f'=0 cosi anche il suo quadrato farà 0.
f'=$lambda1e^(\pi/3) +(\lambda2)/2 -(\lambda3sqrt(3))/2 $
per rendere f'=0 basta che $\lambda1=0,\lambda2=sqrt(3) e \lambda3=1$
un vettore isotropo è(0,$sqrt(3)senx$,cosx)

[dissonance]

Hai sbagliato solo nell'ultimissima cosa che hai scritto. Va bene, hai determinato $lambda_1, lambda_2, lambda_3$ in modo tale che $lambda_1e^x+lambda_2sinx+lambda_3cosx$ sia isotropo. E quindi, qual'è il vettore isotropo? Non quello che hai scritto tu (che non capisco cosa sia), ma $lambda_1e^x+lambda_2sinx+lambda_3cosx$. Perciò se $lambda_1=0, lambda_2=sqrt(3), lambda_3=1$ il vettore è $sqrt(3)sinx+cosx$. (Non ho verificato i calcoli).

Comunque, quello che volevo suggerire era questo:

basta che trovo una f tale che f'=0 cosi anche il suo quadrato farà 0.

che è quasi giusto... Sarebbe stato giusto se avessi detto $f'(pi/3)=0$. Queste magari ti sembrano pignolerie, ma ti garantisco che non lo sono. Solo facendo più attenzione a quello che scrivi, riesci già da subito a formalizzare meglio i problemi che devi risolvere.

[michael891]

va bene quindi il vettore isotropo è $sqrt(3)senx +cosx$.
ricapitolando se ho un prodotto scalare definito da un integrale se le funzioni sono continue nell'intervallo dato non esistono vettori isotropi non nulli,per far si che ce ne siano almeno una funzione deve essere discontinua nell'intervallo come nell'esempio che mi hai fatto prima.per la derivata invece devo fare attenzione che la funzione sia derivabile nel punto dato altrimenti il prodotto scalare non ha senso.
invece per la base ortonorrmale?
nel primo esercizio la matrice associata mi veniva:
$((2\pi,0,0),(0,\pi,0),(0,0,\pi))$
quindi la base (1,senx,cosx)è ortogonale.per trovare la base ortonormale dovrei normalizzare i tre vettori e quindi la base ortonormale è $1/sqrt(2\pi),(senx)/sqrt(\pi),cosx/sqrt(\pi)$
va bene fatto cosi?

[dissonance]

Esatto. Devi trovare una base ortonormale anche per l'altro prodotto scalare?

[michael891]

si.per il prodotto scalare ponendo s1=e^x s2=senx s3=cosx e costruendo la matrice facendo sij= mi viene:
$((e^(2\pi/3),(e^(\pi/3))/2,-e^(\pi/3)*sqrt(3)/2),((e^(\pi/3))/2,1/4,-sqrt(3)/4),((-e^(\pi/3))*sqrt(3)/2,-sqrt(3)/4,3/4))$
ora questi vettori non sono ortogonali quindi dovrei prima renderli ortogonali e poi normalizzarli giusto?

ps non so se la matrice associata va bene comunque il metodo che ho usato va bene?

[dissonance]

Quindi la base non è ortogonale. Adesso puoi applicare un procedimento di ortogonalizzazione: quello più usato è quello di Gram-Schmidt (ma mi pare che in casi come questo, in cui ci possono essere vettori isotropi, si parla di algoritmo di Lagrange. Vabbé.). Il vantaggio di avere una matrice per il prodotto scalare è che adesso puoi dimenticarti di avere a che fare con funzioni, e procedere esattamente come se fossi in $RR^3$.

[michael891]

ah ok
quindi devo appilcare gram schmidt ai tre vettori colonna della matrice(che chiamo v1,v2 e v3) quindi pongo w1=v1 e poi lo normalizzo
w2=v2- (/ ma in questo modo la base ortonormale mi vengono 3 vettori colonna mentre nell'eserczio precedente mi veniva $1/sqrt(2\pi),(senx)/sqrt(\pi),cosx/sqrt(\pi)$.va bene lo stesso?

[dissonance]

Mah, non riesco a capire che cosa hai fatto... Non è detto che sia sbagliato,eh. Perché stai ortogonalizzando le colonne di quella matrice?

[michael891]

io pensavo di ortogonalizzare la matrice in modo da rendere la base iniziale ortogonale e poi una volta fatto normalizzarla come ho fatto per l'esercizio dove il prodotto scalare era definito dall'integrale.però non so se va bene anzi credo di no perchè nell'esercizio precedente dividevo per la loro norma ma sapevo che erano ortogonali qui siccome non lo sono non credo che si possa fare lo stesso.come si potrebbe fare allora?

[dissonance]

E' una cosa assolutamente standard. Supponi di essere in $RR^3$, di avere quella matrice 3x3, che chiamo $M$. Questo definisce un prodotto scalare in $RR^3$, che chiamo, per non confonderci, con le parentesi tonde anziché con quelle ad angolo:
$(vec(x)| vec(y))=vec(x)^TMvec(y)$. Data la base canonica $(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$ (che rappresenta i vettori $e^x, sinx, cosx$...vero? Rifletti bene su questo punto), applica un algoritmo di ortogonalizzazione a questa base, riferito al prodotto scalare $(\* \ |\* \ )$. I vettori che ottieni ti forniscono le coordinate, rispetto alla base ${e^x, sinx, cosx}$, di una base ortonormale.

Ti consiglio di ripassare la teoria dei prodotti scalari, comunque. Ma hai mai studiato i prodotti scalari in $RR^n$, o stai iniziando direttamente a studiarli in spazi di funzioni?

[michael891]

sinceramente non li abbiamo ancora fatti i prodotti scalari,li ho guardati io sul libro e stavo provando ad esercitarmi.il problema è che il libro per la base ortonormale fa esempi in cui ho un prodotto scalare e tre vettori v1 v2 v3 e quindi per trovare la base ortonormale applica il metodo di gram schmidt prima ortogonalizzando i tre vettori e poi rendendoli ortonormali.nell'esercizio di prima io ho il prodotto scalare definito da quelle funzioni ma non capisco a che vettori devo applicare gram schmidt.cioè devo fare cosi?
w1=v1=$e^x$ e poi lo normalizzo
w2=v2-[()/()]w1 e poi normalizzarlo
e w3 sempre nello stesso modo.
dove v1 v2 v3 in questo caso sono le 3 funzioni date

[dissonance]

Esatto! Io credevo che avessi già pratica con i prodotti scalari definiti mediante matrici e che quindi volessi per forza passare da quella strada. E' correttissimo applicare il metodo Gram-Schmidt come hai scritto tu: ma attenzione ai vettori isotropi! Se ad esempio salta fuori che w1 è isotropo, come fai a dividere per $\langlew_1, w_1\rangle$? Non puoi: dovresti dividere per zero. In quel caso devi usare qualche trucco.

[michael891]

è vero.quindi se la matrice associata è già ortonormale abbiamo finito,se è ortogonale la normalizzo,se non è ortogonale utilizzo gram schmidt.se succede che w1 è isotropo però non va bene.devo allora applicare quel metodo di lagrange che avevi nomitato in precedenza?vabbè quello sinceramente non l'ho ancora visto quindi non so ancora come funziona quell'algoritmo.