Esercizio sul prodotto scalare
ciao a tutti.
ho un problema di algebra lineare che non riesco a capire.
dato il prodotto scalare=integrale tra -pigreco e pigreco di f(x)g(x)dx generato dale funzioni{1,senx,cosx} trovare:
-la matrice associata al prodotto scalare rispetto alla base {1,senx,cosx}
-dire se tale prodotto scalare è degenere o non degenere
-trovare se esiste un vettore isotropo non nullo
-trovare se esiste una base ortonormale
allora la matrice associata dovrebbe essere
2pigreco 2 0
2 pigreco 0
0 0 pigreco
il determinante di tale matrice è diverso da zero quindi il prodotto scalare è non degenere.
gli ultimi due punti non riesco a completarli.un vettore isotropo dovrebbe essere un vettore tale che=0 ma non so come fare.per la base ortonormale so che bisogna usare gram schmidt ma non riesco a capire a quali vettori devo applicarlo.
qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi gli ultimi due punti magari mostrandomi i passaggi che devo fare?vi ringrazio.
michael
ho un problema di algebra lineare che non riesco a capire.
dato il prodotto scalare
-la matrice associata al prodotto scalare rispetto alla base {1,senx,cosx}
-dire se tale prodotto scalare è degenere o non degenere
-trovare se esiste un vettore isotropo non nullo
-trovare se esiste una base ortonormale
allora la matrice associata dovrebbe essere
2pigreco 2 0
2 pigreco 0
0 0 pigreco
il determinante di tale matrice è diverso da zero quindi il prodotto scalare è non degenere.
gli ultimi due punti non riesco a completarli.un vettore isotropo dovrebbe essere un vettore tale che
qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi gli ultimi due punti magari mostrandomi i passaggi che devo fare?vi ringrazio.
michael
Risposte
Sì, però i nomi non sono universali. Alcuni dicono "Metodo di Lagrange" e "Metodo di Gram-Schmidt" ma non tutti.
Se stai studiando algebra lineare sono sicuro che avrai a che fare con tutti questi metodi. L'idea comunque è questa: se a un certo punto dell'algoritmo ti trovi davanti ad un vettore isotropo, puoi comunque rimescolare (= combinare linearmente) i vettori che ti rimangono per ottenere un vettore non isotropo, e andare avanti. Ma, ripeto, sono cose che si studiano sempre quando si parla di forme bilineari e prodotti scalari. Te le ritroverai.
Se stai studiando algebra lineare sono sicuro che avrai a che fare con tutti questi metodi. L'idea comunque è questa: se a un certo punto dell'algoritmo ti trovi davanti ad un vettore isotropo, puoi comunque rimescolare (= combinare linearmente) i vettori che ti rimangono per ottenere un vettore non isotropo, e andare avanti. Ma, ripeto, sono cose che si studiano sempre quando si parla di forme bilineari e prodotti scalari. Te le ritroverai.
ok.un'ultima cosa:ma le matrici associate che ho trovato vanno bene?cioè è giusto costruire la matrice associata S in modo che sij= dato un prodotto scalare< , > e una base (a1...an)?
Se hai invertito $i$ e $j$ nella $s_{i,j}=\langlea_j, a_i\rangle$ per errore, allora sì. La formula corretta è: $s_{i,j}=\langlea_i, a_j\rangle$. Anche qua, il motivo di questo fatto diventa chiaro quando studi un po' di forme bilineari. E' una rappresentazione dei prodotti scalari del tutto analoga alla rappresentazione mediante matrici delle applicazioni lineari.
ah.su mio libro pero c'è scritto proprio sij=.ma comunque non è indifferente?cioè negli esercizi di prima potevo anche invertirli che non mi cambiava niente,infatti la matrice era simmetrica.
In tutti i casi che abbiamo visto fino adesso le matrici erano simmetriche. E in effetti si studiano quasi solo prodotti scalari simmetrici: ma ti anticipo che questo discorso poi si estenderà al caso complesso, dove le cose sono un po' più complicate. Quindi abituati a non scrivere a casaccio: puoi scrivere come ho fatto io o come ha fatto il tuo libro, ma non in tutti e due i modi simultaneamente. Poi quale sia la formula corretta dipende da come imposti il discorso. Io non ho mai visto la $s_{i,j}=\langlea_j, a_i\rangle$, ma non è sbagliato, dipende da come imposti il prodotto di matrici.
ok ti ringrazio tantissimo per la tua(enorme)pazienza e per la chiarezza,mi hai davvero illuminato su questo argomento.se avrò delle difficoltà o esercizi che non riesco a capire magari li posto in futuro.
grazie ancora
grazie ancora
Prego, figurati. Ma voglio sottolineare una cosa: i prodotti scalari, secondo me (ma è una cosa di cui sono abbastanza sicuro) è meglio studiarli prima da un punto di vista strettamente geometrico.
"Il" prodotto scalare per eccellenza è quello che si usa pure in fisica, facile da visualizzare graficamente. Poi questa nozione si estende con un discorso algebrico che conosci (o conoscerai), e in particolare si estende anche a spazi vettoriali di funzioni, ad esempio nelle maniere che hai visto.
Invece tu stai prendendo in considerazione da subito prodotti scalari sofisticati, e così facendo perdi uno dei grossi vantaggi dell'impostazione astratta. E' vantaggioso dire che $int_(-pi)^pif(x)g(x)"dx"$ è un prodotto scalare perché mette in luce l'analogia tra questo oggetto complicato e il più familiare $vec(x)*vec(y)$. Ma se uno non conosce $vec(x)*vec(y)$, allora questo vantaggio è sfumato.
Quindi, in conclusione: ti conviene fare un po' di esercizio su prodotti scalari più semplici, che abbiano una interpretazione geometrica più immediata. Vedrai che ti si chiariranno molte cose.
Spero di essermi spiegato, poi tieni presente che non sono un insegnante e quindi adesso mi sto improvvisando tale, basandomi sulle mie esperienze personali. Grazie di aver letto fin qui, alla prossima!
"Il" prodotto scalare per eccellenza è quello che si usa pure in fisica, facile da visualizzare graficamente. Poi questa nozione si estende con un discorso algebrico che conosci (o conoscerai), e in particolare si estende anche a spazi vettoriali di funzioni, ad esempio nelle maniere che hai visto.
Invece tu stai prendendo in considerazione da subito prodotti scalari sofisticati, e così facendo perdi uno dei grossi vantaggi dell'impostazione astratta. E' vantaggioso dire che $int_(-pi)^pif(x)g(x)"dx"$ è un prodotto scalare perché mette in luce l'analogia tra questo oggetto complicato e il più familiare $vec(x)*vec(y)$. Ma se uno non conosce $vec(x)*vec(y)$, allora questo vantaggio è sfumato.
Quindi, in conclusione: ti conviene fare un po' di esercizio su prodotti scalari più semplici, che abbiano una interpretazione geometrica più immediata. Vedrai che ti si chiariranno molte cose.
Spero di essermi spiegato, poi tieni presente che non sono un insegnante e quindi adesso mi sto improvvisando tale, basandomi sulle mie esperienze personali. Grazie di aver letto fin qui, alla prossima!
scusate ho un dubbio nel trovare la base ortonormale:
se ho il prodotto scalare=f '($\pi/3$)g '($\pi/3$) rispetto alle funzioni ($e^x,senx,cosx$)
la matrice associata a tale prodotto scalare mi risulta:
$((e^(2/3\pi),(e^(\pi/3))/2,-sqrt(3)/2e^((2/3)\pi)),(e^(\pi/3)/2,1/4,-sqrt(3)/4),(-sqrt(3)/2e^(2/3\pi),-sqrt(3)/4,3/4))$
ora applicando grham schmidt
w1=v1=e^x u1=w1/||w1|| cioè u1=$e^(x-\pi/3)$
w2=v2-(/)w1=$senx-e^(x-\pi/3)/2
per normalizzare w2 dovrei dividerlo per la sua norma ma la norma mi viene nulla.
w2 è quindi un vettore isotropo e in presenza di vettori isotropi dovrei usare non gram schmidt ma l'algoritmo di lagrange ma non ho capito molto bene come applicarlo.
in questo caso come dovrei fare?
l'algoritmo di lagrange dice di scambiare i vettori quindi potrei fare w2=v3 -(/)w1 e poi normalizzarlo.
in questo modo posso farlo?
grazie.
se ho il prodotto scalare
la matrice associata a tale prodotto scalare mi risulta:
$((e^(2/3\pi),(e^(\pi/3))/2,-sqrt(3)/2e^((2/3)\pi)),(e^(\pi/3)/2,1/4,-sqrt(3)/4),(-sqrt(3)/2e^(2/3\pi),-sqrt(3)/4,3/4))$
ora applicando grham schmidt
w1=v1=e^x u1=w1/||w1|| cioè u1=$e^(x-\pi/3)$
w2=v2-(
per normalizzare w2 dovrei dividerlo per la sua norma ma la norma mi viene nulla.
w2 è quindi un vettore isotropo e in presenza di vettori isotropi dovrei usare non gram schmidt ma l'algoritmo di lagrange ma non ho capito molto bene come applicarlo.
in questo caso come dovrei fare?
l'algoritmo di lagrange dice di scambiare i vettori quindi potrei fare w2=v3 -(
in questo modo posso farlo?
grazie.
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