Esercizio sul polinomio caratteristico
Buonasera,
questo è il mio primo messaggio sul forum.. speriamo di non fare errori.
Ho un dubbio su un esercizio riguardante il polinomio caratteristico di una matrice.
Sia $p(t)=-t^3+at^2-bt+c$. Costruire una matrice A t.c. $\chi_A(t)=p(t)$. Generalizzare a matrici n x n.
Facendo diversi tentativi, sono giunto a questa matrice:
$((a,b,c),(-1,0,0),(0,-1,0))$
Sono partito considerando il fatto che la traccia della matrice dovesse valere $a$; ho quindi messo $a$ sulla diagonale insieme a due zeri. Alla fine ho aggiunto $b$ in posizione $(1,2)$ e $c$ in posizione $(1,3)$, completando in modo che la somma dei minori di ordine $2$ a cavallo della diagonale valesse $b$ e che il determinante fosse $c$.
La matrice che ho trovato dovrebbe andare bene; ma alla richiesta di generalizzare per matrici n x n non saprei come rispondere. Non ho utilizzato un metodo sistematico; l'unica cosa che mi è venuta in mente è stata quella di aggiustare la matrice, in modo che ci fosse corrispondenza tra il coefficiente del termine di grado $n-r$ del polinomio e la somma dei minori principali di ordine $r$ della matrice.
questo è il mio primo messaggio sul forum.. speriamo di non fare errori.
Ho un dubbio su un esercizio riguardante il polinomio caratteristico di una matrice.
Sia $p(t)=-t^3+at^2-bt+c$. Costruire una matrice A t.c. $\chi_A(t)=p(t)$. Generalizzare a matrici n x n.
Facendo diversi tentativi, sono giunto a questa matrice:
$((a,b,c),(-1,0,0),(0,-1,0))$
Sono partito considerando il fatto che la traccia della matrice dovesse valere $a$; ho quindi messo $a$ sulla diagonale insieme a due zeri. Alla fine ho aggiunto $b$ in posizione $(1,2)$ e $c$ in posizione $(1,3)$, completando in modo che la somma dei minori di ordine $2$ a cavallo della diagonale valesse $b$ e che il determinante fosse $c$.
La matrice che ho trovato dovrebbe andare bene; ma alla richiesta di generalizzare per matrici n x n non saprei come rispondere. Non ho utilizzato un metodo sistematico; l'unica cosa che mi è venuta in mente è stata quella di aggiustare la matrice, in modo che ci fosse corrispondenza tra il coefficiente del termine di grado $n-r$ del polinomio e la somma dei minori principali di ordine $r$ della matrice.
Risposte
Prova a cercare su Internet la "Matrice di Frobenius". Mi pare possa fare al caso tuo (ma non ne sono certissimo).
Vedi un po'...
Vedi un po'...
"sandroroma":
Prova a cercare su Internet la "Matrice di Frobenius". Mi pare possa fare al caso tuo (ma non ne sono certissimo).
Vedi un po'...
Mh.. non credo. Ho cercato in giro e quanto pare è una matrice triangolare inferiore con tutti 1 sulla diagonale principale. Quindi il polinomio caratteristico sarebbe semplicemente $p(t) = (1-t)^n$
La matrice di Frobenius non è proprio come hai scritto: hai mancato la prima riga.
Precisamente, supposto che il polinomio caratteristico sia :
$p(t)=t^n+a_{n-1}t^{n-1}+a_{n-2}t^{n-2}+...+a_2t^2+a_1t+a_o$
allora la prima riga della matrice in questione è:
$-a_{n-1} -a_{n-2} ..... -a_1 -a_o$
Precisamente, supposto che il polinomio caratteristico sia :
$p(t)=t^n+a_{n-1}t^{n-1}+a_{n-2}t^{n-2}+...+a_2t^2+a_1t+a_o$
allora la prima riga della matrice in questione è:
$-a_{n-1} -a_{n-2} ..... -a_1 -a_o$
Su Wikipedia in italiano non dice nulla di interessante. Ho provato a cliccare sul link di Wikipedia in inglese e mi dice che è una matrice triangolare. In ogni caso, proverò a mettere i coefficienti del polinomio sulla prima riga e a completare il resto.. magari si riconosce un certo pattern e riesco quindi a risalire alla generalizzazione. Grazie mille 
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