Esercizio sul determinante
Devo dimostrare:
det(I+uv^T)=1+sum(u_i v_i)
con I matrice identità, u e v vettori reali, v^T è il trasposto, sum è la sommatoria.
Grazie
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det(I+uv^T)=1+sum(u_i v_i)
con I matrice identità, u e v vettori reali, v^T è il trasposto, sum è la sommatoria.
Grazie
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Risposte
non si capisce il testo.. in particolare il senso del membro di sinistra...
il testo immagino sia:
$\det (I+ uv^T) = 1 + \sum_i (u_i v_i)$
piuttosto, coloro i quali non trovano un naturale disgusto per l'uso dei termini "vettore riga/vettore colonna" e terminologia/notazioni annesse, dovrebbere almeno sentire, per rispetto delle persone civili, l'esigenza di specificare se usano vettori riga o vettori colonna...
se u è una matrice $1*n$, ovvero un "vettore colonna", allora $uv^T$ viene una matrice "$1*1$" (e il risultato è quello scritto sopra; ovviamente $I$ è la matrice identità $1*1$...)
se usano vettori riga o vettori colonna...
se u è una matrice $n*1$, ovvero un "vettore riga", allora $uv^T$ viene una matrice "$n*n$" (il cui generico elemento è $u_i v_j$ e allora $I$ è la matrice identità $n*n$). Se siamo in questo caso, il risultato è falso, come si vede già nel caso $2*2$
Ah, dimenticavo!
@jemmo: vedo che è il tuo primo post. Benvenuto sul forum!
$\det (I+ uv^T) = 1 + \sum_i (u_i v_i)$
piuttosto, coloro i quali non trovano un naturale disgusto per l'uso dei termini "vettore riga/vettore colonna" e terminologia/notazioni annesse, dovrebbere almeno sentire, per rispetto delle persone civili, l'esigenza di specificare se usano vettori riga o vettori colonna...
se u è una matrice $1*n$, ovvero un "vettore colonna", allora $uv^T$ viene una matrice "$1*1$" (e il risultato è quello scritto sopra; ovviamente $I$ è la matrice identità $1*1$...)
se usano vettori riga o vettori colonna...
se u è una matrice $n*1$, ovvero un "vettore riga", allora $uv^T$ viene una matrice "$n*n$" (il cui generico elemento è $u_i v_j$ e allora $I$ è la matrice identità $n*n$). Se siamo in questo caso, il risultato è falso, come si vede già nel caso $2*2$
Ah, dimenticavo!
@jemmo: vedo che è il tuo primo post. Benvenuto sul forum!
Probabilmente al secondo membro
intende $1+(:u,v:)$ ovvero 1 più il prodotto
scalare dei due vettori...
intende $1+(:u,v:)$ ovvero 1 più il prodotto
scalare dei due vettori...
buongiorno fireball
Ciao! 
La matrice che intendo è, ad esempio nel caso 3x3:
1 + u1v1 u1v2 u1v3
u2v1 1 + u2v2 u2v3
u3v1 u3v2 1 + u3v3
[/img]
1 + u1v1 u1v2 u1v3
u2v1 1 + u2v2 u2v3
u3v1 u3v2 1 + u3v3
[/img]
Dimenticavo... grazie per il benvenuto!
"Fioravante Patrone":
se u è una matrice $n*1$, ovvero un "vettore riga", allora $uv^T$ viene una matrice "$n*n$" (il cui generico elemento è $u_i v_j$ e allora $I$ è la matrice identità $n*n$). Se siamo in questo caso, il risultato è falso, come si vede già nel caso $2*2$
Ho provato il caso $2xx2$ e mi sembra che il risultato torni.
$|((1,0),(0,1)) + ((u_1), (u_2))(v_1, v_2)| = |((1,0),(0,1)) + ((u_1 v_1, u_1 v_2), (u_2 v_1, u_2 v_2))| = |((1 + u_1 v_1, u_1 v_2), (u_2 v_1, 1 + u_2 v_2))| =$
$= (1 + u_1 v_1)(1 + u_2 v_2) - u_1 u_2 v_2 v_1 = 1 + u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_1 u_2 v_1 v_2 - u_1 v_2 u_2 v_1 = 1 + u_1 v_1 + u_2 v_2$
Si, però mi interessava la dimostrazione generica per la dimensione n...
"jemmo":
Si, però mi interessava la dimostrazione generica per la dimensione n...
Stavo semplicemente rispondendo a Fioravante Patrone, una dimostrazione non sono riuscito a trovarla.
Scusami, pensavo rispondessi a me... In effetti il problema funziona anche con le matrici 3x3, ho provato... non è semplice però dimostrarlo nel caso nxn...
Stavo provando a fare qualcosa per induzione, ma sembra essere una strada piuttosto scomoda.
$|((1+u_1 v_1, ..., u_1 v_n), (vdots, ddots, vdots), (u_n v_1, ..., 1+u_n v_n))| = (1+u_1 v_1)(1+sum_(i=2)^n u_i v_i) - sum_(i=2)^n u_i v_1 M_(i,1)$
La matrice $M_(i,1)$ sarebbe il complemento algebrico dell'elemento $u_i v_1$, scambiato un numero pari di volte se $i$ è pari e un numero dispari di volte se $i$ è dispari per ottenere una matrice del tipo $((u_k v_1, u_k v_2, ..., u_k v_n), (u_(k+1) v_1, 1+u_(k+1) v_2, ..., u_(k+1) v_n), (vdots, vdots, ddots, vdots), (u_n v_1, u_n v_2, ..., 1+u_n v_n))$.
Ad ognuna di queste matrici potresti riapplicare il procedimento iniziale, se riesci a non impazzire con gli indici.
Non so se può esserti utile, soprattutto perchè mi rendo conto che non è una spiegazione molto chiara.
$|((1+u_1 v_1, ..., u_1 v_n), (vdots, ddots, vdots), (u_n v_1, ..., 1+u_n v_n))| = (1+u_1 v_1)(1+sum_(i=2)^n u_i v_i) - sum_(i=2)^n u_i v_1 M_(i,1)$
La matrice $M_(i,1)$ sarebbe il complemento algebrico dell'elemento $u_i v_1$, scambiato un numero pari di volte se $i$ è pari e un numero dispari di volte se $i$ è dispari per ottenere una matrice del tipo $((u_k v_1, u_k v_2, ..., u_k v_n), (u_(k+1) v_1, 1+u_(k+1) v_2, ..., u_(k+1) v_n), (vdots, vdots, ddots, vdots), (u_n v_1, u_n v_2, ..., 1+u_n v_n))$.
Ad ognuna di queste matrici potresti riapplicare il procedimento iniziale, se riesci a non impazzire con gli indici.
Non so se può esserti utile, soprattutto perchè mi rendo conto che non è una spiegazione molto chiara.
potete usate in qualche modo queste due proprietà e le "mosse di Gauss":
- moltiplicare una riga per uno scalare diverso da zero, moltiplica il determinante per quello scalare;
- sommare ad una riga un multplo di un'altra non modifica il determinante;
e trovate un modo persemplificare la matrice iniziale di modo che il calcolo del determinante venga più umano...
- moltiplicare una riga per uno scalare diverso da zero, moltiplica il determinante per quello scalare;
- sommare ad una riga un multplo di un'altra non modifica il determinante;
e trovate un modo persemplificare la matrice iniziale di modo che il calcolo del determinante venga più umano...
"Eredir":
[quote="Fioravante Patrone"]se u è una matrice $n*1$, ovvero un "vettore riga", allora $uv^T$ viene una matrice "$n*n$" (il cui generico elemento è $u_i v_j$ e allora $I$ è la matrice identità $n*n$). Se siamo in questo caso, il risultato è falso, come si vede già nel caso $2*2$
Ho provato il caso $2xx2$ e mi sembra che il risultato torni.[/quote]
credo che hai proprio ragione
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
mai fidarsi dei miei conti (avevo trascurato il fatto che c'è $I$...)!
scusate per lo "sviamento"
up... proprio nessuno? A me sembrava carino 
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