Esercizio sul complemento

[Aletzunny1]

Sia $B={v1...vn}$ una base di $V$(spazio vettoriale su K) e $C={w1...wa}$ una base di $W$(sottospazio vettoriale di V).Esiste $D{w1...wa,v(a+1)...vn}$
che è base di $V$.

Definito $Z=span{v(a+1)...vn}$ verificare che $Z$ è COMPLEMENTO di $W$ cioè:
$1)$ $V=Z+W$

$2)$ $Z nn W= \phi$

Purtroppo non abbiamo mai fatto esercizi del genere e con la sola teoria mi trovo in difficoltà:

Ho ipotizzato (ma non ne sono certo) che poiché $D$ è composto da vettori linearmente indipendenti come $C$ allora anche $Z$ sarà composta da vettori linearmente indipendenti e quindi anche $Z$ è base di $W$.
Ora però non so come soddisfare la condizione $1)$ e $2)$

Qualcuno gentilmente può darmi un'idea su come ragionare perché con la sola teoria non sto davvero capendo.
Grazie

[vict85]

"Aletzunny":Sia $B={v1...vn}$ una base di $V$(spazio vettoriale su K) e $C={w1...wa}$ una base di $W$(sottospazio vettoriale di V).Esiste $D{w1...wa,v(a+1)...vn}$
che è base di $V$.

Definito $Z=span{v(a+1)...vn}$ verificare che $Z$ è COMPLEMENTO di $W$ cioè:
$1)$ $V=Z+W$

$2)$ $Z nn W= \phi$

Purtroppo non abbiamo mai fatto esercizi del genere e con la sola teoria mi trovo in difficoltà:

Ho ipotizzato (ma non ne sono certo) che poiché $D$ è composto da vettori linearmente indipendenti come $C$ allora anche $Z$ sarà composta da vettori linearmente indipendenti e quindi anche $Z$ è base di $W$.
Ora però non so come soddisfare la condizione $1)$ e $2)$

Qualcuno gentilmente può darmi un'idea su come ragionare perché con la sola teoria non sto davvero capendo.
Grazie

La prima parte la trovo piuttosto confusa, rimando alla pagina wiki sul completamente a base https://it.wikipedia.org/wiki/Completamento_a_base per una esposizione più chiara.

Riguardo al tuo problema, lavora per assurdo. Supponi per esempio che non generi tutto \(V\) e trova un assurdo con il fatto che \(\mathcal{D}\) sia una base di \(V\). Similmente considera \(\mathbb{u}\in W\cap Z\) e trova un assurdo con il fatto che \(\mathcal{D}\) è linearmente indipendente.

[Aletzunny1]

Si allora sull'esercizio con questa spiegazione sono arrivato alla soluzione...
Tuttavia ho ancora un dubbio...se chiamo $E={v(a+1)...vn}$, so che $E$ è composto da vettori linearmente indipendenti e sapendo che $span{E}=Z$ posso dire che $E$ è una base di $Z$ giusto?
So benissimo che non c'entra al 100% con l'esercizio ma siccome prima mi sono sbagliato vorrei capire se adesso sono giunto sulla buona strada

[Aletzunny1]

Grazie mille