Esercizio sul cambio di base
Ciao a tutti, mi aiutate a risolvere questo esercizio?
Si consideri l’applicazione lineare:
T : R3 −> R3
(x, y, z) --->(x + 2y − z, 3x − y + z, 3x + 4y + z)
a) Sia B = {(1,−2, 0), (0,−1, 1), (1,−1, 0)} una base diR3. Scrivere la
matrice associata a T rispetto alla base alla base B nel dominio e alla
base canonica nel codominio.
b) Si determini se T e’ un isomorfismo e nel caso lo sia si calcoli T−1
In particolare mi aiutate passo-passo a capire il primo punto?
Come si trova invece la matrice associata ad T che ha la base canonica nel dominio e B nel codominio?
Grazie
Si consideri l’applicazione lineare:
T : R3 −> R3
(x, y, z) --->(x + 2y − z, 3x − y + z, 3x + 4y + z)
a) Sia B = {(1,−2, 0), (0,−1, 1), (1,−1, 0)} una base diR3. Scrivere la
matrice associata a T rispetto alla base alla base B nel dominio e alla
base canonica nel codominio.
b) Si determini se T e’ un isomorfismo e nel caso lo sia si calcoli T−1
In particolare mi aiutate passo-passo a capire il primo punto?
Come si trova invece la matrice associata ad T che ha la base canonica nel dominio e B nel codominio?
Grazie
Risposte
"Serterius":
In particolare mi aiutate passo-passo a capire il primo punto?
Indichiamo con $A$ la matrice associata a $T$ rispetto alle basi canoniche. Quindi $T(\mathbf{v}) = A\mathbf{v}$.
Allora $A_1 = AS$ dove $S$ è la matrice di passaggio dalla base canonica alla base $B$ di $\mathbb{R}^3$.
la matrice di passaggio $S$ è nella forma [tex]S := \begin{bmatrix}\mathbf{b}_1 & \mathbf{b}_2 & \mathbf{b_3}\end{bmatrix}[/tex] dove i vettori $\mathbf{b}_i$ appartengono alla base $B$.
"Serterius":
Come si trova invece la matrice associata ad T che ha la base canonica nel dominio e B nel codominio?
Il discorso è analogo al precedente se non per il fatto che $A_2 = S^{-1}A$.
Spero di non aver commesso errori.
Ciao e grazie per la risposta.
Ho un dubbio: la matrice A non è la matrice associata all'applicazione lineare che ha per colonne le immagini dei vettori espressi nella base canonica? Quindi A= $((1,2,-1),(3,-1,1),(3,4,1))$ ? Quindi non coincide con quella che hai chiamato C?
Ho un dubbio: la matrice A non è la matrice associata all'applicazione lineare che ha per colonne le immagini dei vettori espressi nella base canonica? Quindi A= $((1,2,-1),(3,-1,1),(3,4,1))$ ? Quindi non coincide con quella che hai chiamato C?
Modifico il post precedente indicando con $A$ la matrice che rappresenta $T$ rispetto alle basi canoniche, con $A_1$ la matrice che viene richiesta nel punto a e con $A_2$ la matrice richiesta nel punto b.
Spero che così ti sia più chiaro.
Spero che così ti sia più chiaro.
Ok, quindi se voglio passare dalla base canonica nel dominio alla base B, sempre nel dominio, basta moltplicare la matrice A (canonica sia dominio che codominio) per la matrice del cambio di base S (che ha per colonne i vettori della base B espressi nelle coordinate della canonica). Mentre la formula: Mb(f)=(S)^-1 A S serve per passare alla base B sia per dominio che codominio giusto? Grazie ancora 
Se hai una generica applicazione [tex]f: V \to W[/tex], sia $A$ la matrice che rappresenta $f$ rispetto alla base $D_1$ del dominio e alla base $C_1$ del codominio. Sia $S$ la matrice di passaggio dalla base $D_1$ alla base $D_2$ (dominio) e sia $T$ la matrice di passaggio dalla base $C_1$ alla base $C_2$ (codominio).
La matrice che rappresenta $f$ rispetto a queste due nuove basi è: [tex]B = T^{-1}AS[/tex]
La matrice che rappresenta $f$ rispetto a queste due nuove basi è: [tex]B = T^{-1}AS[/tex]
Perfetto...è molto facile 
Non riuscivo a capire!
Quindi bisogna individuare la matrice del cambio di base "idonea" al cambio di base che vogliamo apportare e moltplicarla per la matrice iniziale associata ad f.
Non riuscivo a capire!Quindi bisogna individuare la matrice del cambio di base "idonea" al cambio di base che vogliamo apportare e moltplicarla per la matrice iniziale associata ad f.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo