Esercizio sul calcolo di una matrice simmetrica....(risolto)
Data la matrice $A=((a,1,a),(a,a,1),(1,-a,-a))$ determinare la matrice antisimmetrica C tale che $B=A-C$ sia matrice simmetrica. C è diagonalizzabile????...consigli aiuti...???
Io avevo provato a calcolare la differenza tra A e C avenodo assgnato genericamente $C=((b,b,b),(-b,b,b),(-b,-b,b))$....però non arrivo a niente alla fine....voi come avreste risolto???
Io avevo provato a calcolare la differenza tra A e C avenodo assgnato genericamente $C=((b,b,b),(-b,b,b),(-b,-b,b))$....però non arrivo a niente alla fine....voi come avreste risolto???
Risposte
Per essere antisimmetrica deve valere $c_(i,j)= -c_(j,i)$, $AA i,j in {1,2,3}$
In particolare, scegliendo $i=j$ dobbiamo avere $c_(i,i)= -c_(i,i)$ con $i in {1,2,3}$
L'unica possibilità è che $c_(i,i)=0$, ovvero che la diagonale principale sia fomata da elementi tutti nulli
La matrice $C$ sarà di questa forma: $C=((0,c_1,c_2),(-c_1,0,c_3),(-c_2,-c_3,0))$
Vanno determinati $c_1,c_2,c_3$ sfruttando il fatto che $A-C$ è una matrice simmetrica
In particolare, scegliendo $i=j$ dobbiamo avere $c_(i,i)= -c_(i,i)$ con $i in {1,2,3}$
L'unica possibilità è che $c_(i,i)=0$, ovvero che la diagonale principale sia fomata da elementi tutti nulli
La matrice $C$ sarà di questa forma: $C=((0,c_1,c_2),(-c_1,0,c_3),(-c_2,-c_3,0))$
Vanno determinati $c_1,c_2,c_3$ sfruttando il fatto che $A-C$ è una matrice simmetrica
scusa se disturbo ancora...innanzi tutto grazie per la risposta....comunque volevo chiederti questo....Ho capito che $C=-C^T$ ma non capisco perchè prendi $i=j$...e perchè quindi la diagonale principale è formata da elementi tutti nulli...
----comunque ho fatto i calcoli.....e sarà che $A-C=((a,1-c_1,a-c_2),(a+c_1,a,1-c_3),(1+c_2,-a+c_3,-a))$ se questa deve essere simmetrica deve essere che $a-c_2=1+c_2$ poi $1-c_1=a+c_1$ infine $1-c_3=-a+c_3$....da qui trovo i valori di $c_1 c_2 e c_3$ è giusto il procedimento???
Se è giusto ho determinato così la matrice C al variare di a....giusto???....per dire se è diagonalizzabile asta applicare la definizione e già possiamo dire che è diagonale...giusto???
Se è giusto ho determinato così la matrice C al variare di a....giusto???....per dire se è diagonalizzabile asta applicare la definizione e già possiamo dire che è diagonale...giusto???
"fk16":Perchè quella relazione deve valere qualunque siano $i$ e $j$ in ${1,2,3}$. Quindi ad esempio, quando $i=1$, $j=1$ si ha che $c_(1,1)=-c_(1,1)$. Qual è l'unico numero che è uguale al suo opposto? $0$
scusa se disturbo ancora...innanzi tutto grazie per la risposta....comunque volevo chiederti questo....Ho capito che $C=-C^T$ ma non capisco perchè prendi $i=j$...e perchè quindi la diagonale principale è formata da elementi tutti nulli...
"fk16":Tutto corretto
$A-C=((a,1-c_1,a-c_2),(a+c_1,a,1-c_3),(1+c_2,-a+c_3,-a))$ deve essere che $a-c_2=1+c_2$ poi $1-c_1=a+c_1$ infine $1-c_3=-a+c_3$....da qui trovo i valori di $c_1 c_2 e c_3$ è giusto il procedimento???
Se è giusto ho determinato così la matrice C al variare di a....giusto???....per dire se è diagonalizzabile asta applicare la definizione e già possiamo dire che è diagonale...giusto???
grazie mille...=)
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