Esercizio sui vettori
Ciao 
potreste darmi una mano a risolvere questo esercizio? Non riesco a trovare da nessuna parte un esercizio simile
Il testo dice: scrivi un vettore di lunghezza 1 ortogonale al vettore v=3i+2j-k. Quanti ce ne sono?
Grazie mille in anticipo
potreste darmi una mano a risolvere questo esercizio? Non riesco a trovare da nessuna parte un esercizio simile Il testo dice: scrivi un vettore di lunghezza 1 ortogonale al vettore v=3i+2j-k. Quanti ce ne sono?
Grazie mille in anticipo
Risposte
Trova un vettore linearmente indipendente a [tex]\vec v[/tex], rendilo ortogonale a [tex]\vec v[/tex] con Gram Schmidt e poi normalizzalo.
Ad esempio, prendendo il vettore [tex]\vec a = \vec i + 2 \vec j - 7 \vec k[/tex]:
Ortogonalizziamolo rispetto a [tex]\vec v[/tex]:
\[ \vec a_{ort} = \vec a - \frac{\vec a \cdot \vec v}{\vec v \cdot \vec v} \vec v = (1 \ 2 \ -7) - \frac{\cancel{14}}{\cancel{14}} (3 \ 2 \ -1) = (-2 \ 0 \ -6) \]
Verifichiamo che effettivamente abbiamo ottenuto un vettore ortogonale a [tex]\vec v[/tex]. Due vettori sono ortogonali $\iff$ il loro prodotto scalare è nullo. E infatti:
\[ \vec a_{ort} \cdot \vec v = (-2 \ 0 \ -6) \cdot (3 \ 2 \ -1) = -6 + 0 + 6 = 0 \]
Quindi il vettore [tex]\vec a_{ort} = -2 \vec i - 6 \vec k[/tex] è ortogonale al vettore [tex]\vec v[/tex].
Ora non resta che normalizzarlo, sai come si fa?
Ad esempio, prendendo il vettore [tex]\vec a = \vec i + 2 \vec j - 7 \vec k[/tex]:
Ortogonalizziamolo rispetto a [tex]\vec v[/tex]:
\[ \vec a_{ort} = \vec a - \frac{\vec a \cdot \vec v}{\vec v \cdot \vec v} \vec v = (1 \ 2 \ -7) - \frac{\cancel{14}}{\cancel{14}} (3 \ 2 \ -1) = (-2 \ 0 \ -6) \]
Verifichiamo che effettivamente abbiamo ottenuto un vettore ortogonale a [tex]\vec v[/tex]. Due vettori sono ortogonali $\iff$ il loro prodotto scalare è nullo. E infatti:
\[ \vec a_{ort} \cdot \vec v = (-2 \ 0 \ -6) \cdot (3 \ 2 \ -1) = -6 + 0 + 6 = 0 \]
Quindi il vettore [tex]\vec a_{ort} = -2 \vec i - 6 \vec k[/tex] è ortogonale al vettore [tex]\vec v[/tex].
Ora non resta che normalizzarlo, sai come si fa?
Credo di si se puoi comunque farmelo vedere almeno ho in esercizio da prendere come riferimento
se puoi comunque farmelo vedere almeno ho in esercizio da prendere come riferimento
Basta calcolare la norma del vettore [tex]\vec a_{ort}[/tex], chiamiamola $ N$. Il vettore normalizzato sarà [tex]\vec a_{ortnorm} = \frac {\vec a_{ort}} {N}[/tex]. Cioè, per normalizzare un vettore basta dividerlo per la sua norma.
Grazie mille!!!! Già che ci sono ho un esercizio simile, il testo dice di trovare sempre un vettore di lunghezza 1 ma ortogonale al piano di equazione 3x+2y-z=3. In più mi chiede quanti ce ne sono.
Questo come so risolve?
Questo come so risolve?
Per definizione, i coefficienti di $x, y, z$ nell 'equazione cartesiana di un piano sono le componenti di un vettore ortogonale al piano. Inoltre, i vettori che soddisfano questa condizione sono gli infiniti multipli di questo vettore. Quindi sono infiniti.
Quindo andrebbe bene il vettore trovato nell'esercizio precedente? E anche nell'esercizio precedente sono infiniti?
Non quello trovato, ma il vettore iniziale, [tex]\vec v[/tex].
Certamente sono infiniti anche i vettori ortogonali ad un vettore dato. Nel caso precedente abbiamo trovato [tex]\vec a_{ort} = (-2 \ 0 \ -6)[/tex], ma anche un suo multiplo, ad esempio [tex]\vec b = (1 \ 0 \ 3)[/tex], è ortogonale a [tex]\vec v[/tex]. Prova a fare il prodotto scalare per verificarlo. Bisogna ricordare che l'ortogonalità è una questione di direzione, non di modulo; quindi ogni vettore ha infiniti vettori ortogonali di direzione uguale ma di modulo diverso.
Certamente sono infiniti anche i vettori ortogonali ad un vettore dato. Nel caso precedente abbiamo trovato [tex]\vec a_{ort} = (-2 \ 0 \ -6)[/tex], ma anche un suo multiplo, ad esempio [tex]\vec b = (1 \ 0 \ 3)[/tex], è ortogonale a [tex]\vec v[/tex]. Prova a fare il prodotto scalare per verificarlo. Bisogna ricordare che l'ortogonalità è una questione di direzione, non di modulo; quindi ogni vettore ha infiniti vettori ortogonali di direzione uguale ma di modulo diverso.
Grazie mille davvero!!!
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