Esercizio sui sottospazi vettoriali
Ragazzi non riesco a venire a capo a questo esercizio di algebra lineare sui sottospazi, neanche con la soluzione davanti! Per favore aiutatemi... 
Siano U = Span { $ ( ( 1 ),( 3 ),( -1 ),( 2 ) ) $ , $ ( ( 1 ),( 1 ),( -1 ),( 2 ) ) $ , $ ( ( -3 ),( -3 ),( 3 ),( -6 ) ) $ } e
W = Span { $ ( ( 2 ),( 7 ),( 1 ),( 4 ) ) $ , $ ( ( 1 ),( 9 ),( 3 ),( 2 ) ) $ } due sottospazi di R^4.
a) Determinare la dimensione e una base della spazio somma U + W;
b) determinare la dimensione e una base dell'intersezione tra U e W;
c) completare la base di U intersezione W trovata al punto b) a una base di U.
Soluzione:
Siano, nell'ordine in cui compaiono, u1,u2,u3,w1,w2 i vettori indicati nel testo dell'esercizio. La riduzione a scala della matrice associata a questi vettori è la seguente:
$ ( ( 1 , 1 , -3 , 2 , 1 ),( 3 , 1 , -3 , 7 , 9 ),( -1 , -1 , 3 , 1 , 3 ),( 2 , 2 , -6 , 4 , 2 ) ) $ ~ $ ( ( 1 , 1 , -3 , 2 , 1 ),( 0 , -2 , 6 , 1 , 6 ),( 0 , 0 , 0 , 3 , 4 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
Dalla riduzione effettuata si evince che u3 è combinazione lineare di u1 e u2 (quindi U, come W ha dimensione 2) e che B(U+W) = {u1,u2,w1} è una base dello spazio somma U+W.
Sempre dalla riduzione a scala effettuata, troviamo che le soluzioni del sistema lineare x1u1 + x2u2 = y1w1 + y2w2 sono:
x1 = -2t, x2 = 7t, y1 = 4t, y2 = -3t
Ne segue che B(intersezione di U e W) = { -2u1 + 7u2 } = { $ ( ( 5 ),( 1 ),( -5 ),( 10 ) ) $ } è una base dell'intersezione tra U e W.
Per ragioni di dimensione e per l'ovvia indipendenza dei vettori -2u1 + 7u2 e u1, si ja che { -2u1 + 7u2, u1 } è un completamento della base di U intersezione W trovata precedentemente a una base di U.
Allora in pratica non ho capito il passaggio con il quale è stata ricavata la base dell'intersezione tra U e W il passaggio con cui la base di U intersezione W è stata completata ad una base di U, in pratica non ho capito come sono stati risolti i punti b e c. Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmeli? Grazie
Siano U = Span { $ ( ( 1 ),( 3 ),( -1 ),( 2 ) ) $ , $ ( ( 1 ),( 1 ),( -1 ),( 2 ) ) $ , $ ( ( -3 ),( -3 ),( 3 ),( -6 ) ) $ } e
W = Span { $ ( ( 2 ),( 7 ),( 1 ),( 4 ) ) $ , $ ( ( 1 ),( 9 ),( 3 ),( 2 ) ) $ } due sottospazi di R^4.
a) Determinare la dimensione e una base della spazio somma U + W;
b) determinare la dimensione e una base dell'intersezione tra U e W;
c) completare la base di U intersezione W trovata al punto b) a una base di U.
Soluzione:
Siano, nell'ordine in cui compaiono, u1,u2,u3,w1,w2 i vettori indicati nel testo dell'esercizio. La riduzione a scala della matrice associata a questi vettori è la seguente:
$ ( ( 1 , 1 , -3 , 2 , 1 ),( 3 , 1 , -3 , 7 , 9 ),( -1 , -1 , 3 , 1 , 3 ),( 2 , 2 , -6 , 4 , 2 ) ) $ ~ $ ( ( 1 , 1 , -3 , 2 , 1 ),( 0 , -2 , 6 , 1 , 6 ),( 0 , 0 , 0 , 3 , 4 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
Dalla riduzione effettuata si evince che u3 è combinazione lineare di u1 e u2 (quindi U, come W ha dimensione 2) e che B(U+W) = {u1,u2,w1} è una base dello spazio somma U+W.
Sempre dalla riduzione a scala effettuata, troviamo che le soluzioni del sistema lineare x1u1 + x2u2 = y1w1 + y2w2 sono:
x1 = -2t, x2 = 7t, y1 = 4t, y2 = -3t
Ne segue che B(intersezione di U e W) = { -2u1 + 7u2 } = { $ ( ( 5 ),( 1 ),( -5 ),( 10 ) ) $ } è una base dell'intersezione tra U e W.
Per ragioni di dimensione e per l'ovvia indipendenza dei vettori -2u1 + 7u2 e u1, si ja che { -2u1 + 7u2, u1 } è un completamento della base di U intersezione W trovata precedentemente a una base di U.
Allora in pratica non ho capito il passaggio con il quale è stata ricavata la base dell'intersezione tra U e W il passaggio con cui la base di U intersezione W è stata completata ad una base di U, in pratica non ho capito come sono stati risolti i punti b e c. Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmeli? Grazie
Risposte
Potresti scrivere con le formule, non vorrei darti un suggerimento errato!
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