Esercizio sui sottogruppi

[valerio19961]

Ciao a tutti sto cercando di risolvere questo esercizio

Sia G un gruppo nel quale l intersezione di tutti i sottogruppi diversi da (e) è un sottogruppo diverso da (e)
Dimostrare che ogni elemento di G ha ordine finito

[dan952]

L'idea è quella di procedere per assurdo, supponiamo che esista un elemento $g \in G$ di ordine infinito e sia $K=nn_{i} H_i$ l'intersezione di tutti i sottogruppi $H_i <= G$, e tra questi sottogruppi vi è anche il sottogruppo ciclico ($~= ZZ$) generato da $g$, dunque esiste almeno una potenza $g^i \in $ diversa da $e$, con le sue relative potenze, appartenenti a $K$, in realtà $K$ può contenere solo potenze di $g$, perché si ottiene dall'intersezione di $$ con gli altri sottogruppi, dunque $K$ contiene propriamente i sottogruppi ciclici generati da queste potenze, ma essendo $K$ il più piccolo sottogruppo proprio di $G$ segue l'assurdo.

[valerio19961]

Grazie mille per la risposta , però non ho ben capito l ultimo passaggio dove dici che poichè K contiene propriamente i sottogruppi ciclici generati dalle potenze di g^(i) allora segue l assurdo essendo K il più piccolo sottogruppo proprio di G ( quest ultima affermazione l ho capita però non mi è chiaro il passaggio di prima)

[dan952]

$$ è un sottogruppo ciclico di ordine infinito, dunque le potenze di $g$ che stanno in $K$ sono sicuramente generatori di sottogruppi ciclici infiniti di $K$. Faccio un esempio pratico: in $K$ ci sono $g^2$ e $g^3$ che rispettivamente generano due sottogruppi ciclici non banali $$ e $$ di $K$. Osserva che l'ipotesi che $$ sia un sottogruppo ciclico infinito è fondamentale per affermare che i sottogruppi generati da queste potenze (es. $$ e $$) non siano banali, infatti supponiamo che $$ sia ciclico di ordine 4 e $K={e,g^2}$ il sottogruppo più piccoli non banale, allora non vi sarebbe alcuna contraddizione poiché $K$ non ammette sottogruppi non banali.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Io direi più semplicemente che se esiste $g$ di ordine infinito allora l'intersezione [tex]\bigcap_n \langle g^n \rangle[/tex] è uguale a [tex]\{1\}[/tex].

[dan952]

In effetti