Esercizio sui prodotti lineari e sui sottospazi vettoriali
Ciao, mi sono scontrato in questo esercizio, il testo è nell'immagine allegata.
Per descrivere l'insieme ho tentato di rappresentare x in funzione di h e v, è giusto farlo in questo modo o bisogna fare altro?
Riguardo al secondo punto, per fare in modo che Vh sia un sottospazio vettoriale deve essere chiuso secondo la somma e il prodotto per uno scalare. So queste due condizioni ma non so che conti devo fare per trovare h in modo che Vh sia uno sottospazio vettoriale.
Grazie in anticipo dell'aiuto.
Simone
Per descrivere l'insieme ho tentato di rappresentare x in funzione di h e v, è giusto farlo in questo modo o bisogna fare altro?
Riguardo al secondo punto, per fare in modo che Vh sia un sottospazio vettoriale deve essere chiuso secondo la somma e il prodotto per uno scalare. So queste due condizioni ma non so che conti devo fare per trovare h in modo che Vh sia uno sottospazio vettoriale.
Grazie in anticipo dell'aiuto.
Simone
Risposte
Secondo me devi cominciare a vedere se il vettore nullo appartiene a $V_h$, tanto per cominciare. Questo già ti fornisce una condizione necessaria su $h$. Poi devi vedere se la condizione è anche sufficiente.
Scusa ma non mi è mai capitato di fare esercizi del genere non saprei come verificare se il vettore nullo appartiene o no a Vh. Potresti dimostrarmi i passaggi o almeno l'impostazione dell'esercizio.
Sono sopra questo esercizio da giorni, sta diventando il mio incubo.
Sono sopra questo esercizio da giorni, sta diventando il mio incubo.
Ma questa non è una domanda di algebra lineare, è proprio un problema che tu hai con la definizione di insieme. Non hai capito come si definiscono gli insiemi. Per verificare se un elemento $x$ appartiene all'insieme
\[
\left\{ y: \text{la proprietà }P(y)\text{ è verificata}\right\}.\]
devi verificare la proprietà $P(x)$.
In questo caso, devi verificare se il vettore nullo $x=0$ risolve l'equazione
\[
h+\langle x,v\rangle=h^2-\langle v, x+v\rangle
\]
Questo ti darà una condizione necessaria su $h$, e cioè, che $h$ deve risolvere l'equazione
\[
h^2-h-\langle v, v\rangle=0\]
Risolvi questa equazione e trovi due valori di $h$ che chiamiamo $h_1$ e $h_2$. Poi vai a vedere, uno alla volta, se gli insiemi $V_{h_1}$ e $V_{h_2}$ sono sottospazi vettoriali o no.
P.S.: Mi dispiace essere duro, non è che mi diverto, ma mi sembra giusto insistere sulle lacune che ti possono creare dei grossi problemi se non le colmi subito.
\[
\left\{ y: \text{la proprietà }P(y)\text{ è verificata}\right\}.\]
devi verificare la proprietà $P(x)$.
In questo caso, devi verificare se il vettore nullo $x=0$ risolve l'equazione
\[
h+\langle x,v\rangle=h^2-\langle v, x+v\rangle
\]
Questo ti darà una condizione necessaria su $h$, e cioè, che $h$ deve risolvere l'equazione
\[
h^2-h-\langle v, v\rangle=0\]
Risolvi questa equazione e trovi due valori di $h$ che chiamiamo $h_1$ e $h_2$. Poi vai a vedere, uno alla volta, se gli insiemi $V_{h_1}$ e $V_{h_2}$ sono sottospazi vettoriali o no.
P.S.: Mi dispiace essere duro, non è che mi diverto, ma mi sembra giusto insistere sulle lacune che ti possono creare dei grossi problemi se non le colmi subito.
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