Esercizio sui minori

[nick_10]

Ciao a tutti !!!
Ero alle prese con questo esercizio: Sia $A in M(n,CC)$ una matrice con la prima colonna nulla e sia $B in M(n,CC)$ una matrice simile ad $A$ con l'ultima colonna nulla.
a)Mostrare che se $n=2$, $A_(1,1)$ è simile a $B_(2,2)$
b)Mostrare che se $n>=3$, $A_(1,1)$ invertibile, allora $A_(1,1)$ è simile a $B_(2,2)$
c)Mostrare che il risultato del punto precedente non è vero nel caso $A_(1,1)$ sia singolare

P.s. In generale data una matrice $M$ indico con $M_(i,i)$ il minore principale di $M$ ottenuto eliminando la i-esima riga e colonna di $M$
Per il primo punto ho le matrici cosi fatte: $A= ((0,a),(0,b))$, $B=((c,0),(d,0))$ con $a,b,c,d in CC$.
Io avevo pensato per dimostrare che b è simile a c di usare il fatto che A e B sono simili; dunque esiste $N in M(2,CC)$ tale che $N^-1AN=B$. Magari usavo una generica $N=((n_1,n_2),(n_3,n_4))$ con $n_i in CC AA 1<=i<=4$ e cercavo la sua inversa
Però mi sembra un procedimento "poco intelligente" e calcoloso...

[nick_10]

Ripensandoci un po...magari un metodo piu veloce potrebbe essere quello di verificare lo spettro delle due matrici. Infatti se esse sono simili per ipotesi, allora devono avere stessi autovalori. La matrice $A$ ha autovalori $0$ e $b$, mentre la matrice $B$ ha autovalori $0$ e $c$. Questo implica o che $b=0=c$ o $b=c$. Ma in entrambi casi $A_(1,1)$ è simile a $B_(2,2)$
Potrebbe andare?