Esercizio sui compatti
Vorrei vedere se questo esercizio è fatto bene.
Il testo è:
Sia X uno spazio topologico qualsiasi ed A e B due suoi sottoinsiemi. Dimostrare vera o falsa questa affermazione.
A e B entrambi compatti implica $A U B$ compatti.
Ora se A è compatto implica che esiste ${U_j : jinJ}$ ricoprimento finito di aperti, analogamente per B esisterà ${V_t : tinT}$ ricoprimento finito di aperti. Dunque $A U B sub (uu U_j) uu (uuV_t)=uu_(j,t) U_j uu V_t$. Abbiamo trovato un ricoprimento finito di aperti per l'unione dunque $AuuB$ compatto.
Va bene??
Il testo è:
Sia X uno spazio topologico qualsiasi ed A e B due suoi sottoinsiemi. Dimostrare vera o falsa questa affermazione.
A e B entrambi compatti implica $A U B$ compatti.
Ora se A è compatto implica che esiste ${U_j : jinJ}$ ricoprimento finito di aperti, analogamente per B esisterà ${V_t : tinT}$ ricoprimento finito di aperti. Dunque $A U B sub (uu U_j) uu (uuV_t)=uu_(j,t) U_j uu V_t$. Abbiamo trovato un ricoprimento finito di aperti per l'unione dunque $AuuB$ compatto.
Va bene??
Risposte
secondo me, no, ma io sono fuori allenamento.
un ricoprimento di $AuuB$ non credo che debba essere necessariamente l'unione di due ricoprimenti di $A$ e di $B$.
aspettiamo l'intervento di qualcuno più esperto. ciao.
un ricoprimento di $AuuB$ non credo che debba essere necessariamente l'unione di due ricoprimenti di $A$ e di $B$.
aspettiamo l'intervento di qualcuno più esperto. ciao.
Mah, in teoria credo che sia giusto ma devi partire da un ricoprimento di $AuuB$ e poi prendere un suo sottoinsieme che ricopre $A$ e uno che ricopre $B$ quindi trovare dei sottoricoprimenti e infine l'unione di questi ultimi è un sottoricoprimento finito di $AuuB$.
"squalllionheart":
se A è compatto implica che esiste ${U_j : jinJ}$ ricoprimento finito di aperti
Questo è vero, ma è vero per tutti gli spazi topologici!!! Se $X$ è uno spazio topologico, allora ${ X }$ è un ricoprimento finito di aperti...
Uno spazio topologico si dice compatto se da ogni ricoprimento di aperti si può estrarre un sottoricoprimento finito.
riepilogando, tenendo conto di quello che avevi scritto e delle osservazioni degli altri, si potrebbe ragionare così:
vogliamo dimostrare che $AuuB$ è compatto. allora $AA " ricoprimento " C=uuu{C_i}$ deve esistere un'estrazione finita.
ma $C$, essendo un ricoprimento di $AuuB$, in particolare è un ricoprimento sia di $A$ sia di $B$.
poiché $A$ e $B$ sono compatti, esistono due sottoricoprimenti finiti, uno per $A$, ed uno per $B$.
la loro unione è un ricoprimento finito (sottoricoprimento di $C$) per $AuuB$.
spero che così sia giusto. ciao.
vogliamo dimostrare che $AuuB$ è compatto. allora $AA " ricoprimento " C=uuu{C_i}$ deve esistere un'estrazione finita.
ma $C$, essendo un ricoprimento di $AuuB$, in particolare è un ricoprimento sia di $A$ sia di $B$.
poiché $A$ e $B$ sono compatti, esistono due sottoricoprimenti finiti, uno per $A$, ed uno per $B$.
la loro unione è un ricoprimento finito (sottoricoprimento di $C$) per $AuuB$.
spero che così sia giusto. ciao.
grazie;)
prego.
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