Esercizio sui Campi Coordinati
Salve a tutti,
stavo studiando Geometria Differenziale e mi sono bloccato su un esercizio che non riesco a sbrogliare. Innanzitutto mi scuso per il modo di scrivere, se sbaglio qualcosa ditemelo, ma è la prima volta che scrivo sul forum oppure scrivo in LateX. Anche se dovrò abituarmi per fare la tesi (ed altro, si spera
) perciò ben venga!
Questo è il testo:
Campi coordinati
(i) Sia X un campo $C^1$ su S tale che $ X(P) ne 0 $. Dimostrare che esiste sempre una carta $ φ : ˜ U ⊂R^d → U = φ(˜ U)⊂ S $ intorno a P tale che $φ^∗X $(pull-back) $= ∂/(∂x_1)$ su$ ˜ U$.
(ii) Siano ora $ X_1,...,X_k $ campi vettoriali $C^1$ linearmente independenti in un punto $ P ∈ S $. Mostrare che se le traiettorie di questi campi commutano, allora esiste una carta $ φ : ˜ U ⊂ R^d → U = φ(˜ U) ⊂ S $intorno a P con coordinate ($x_i$)tali che $φ^∗X_i = ∂/(∂x_i)$, per $i = 1,..,k$.
Suggerimento per (i): integrare il campo X a partire da punti iniziali che stanno su una (d−1)-sottovariet`a $S_0 ⊂ S$ con TP S0 ⊥ V (P); quindi usare il TFI. Suggerimento per (ii): - definire un embedding da un aperto diRk in S utilizzando le traiettorie dei campoi $X_1,...,X_k $; - quindi estendere tale embedding a un diffeomorfismo da un aperto di $R^d$ a $S$.
Avevo pensato che, per il primo punto, avrei potuto dimostrare che preso un qualsiasi vettore $v∈R^n$ posso creare un cambio di coordinate che localmente me lo rende il primo vettore di una base di $R^n$ e poi completo il sistema di basi. Una volta fatto questo componendolo con la carta dovrei ottenere la tesi. Però punto primo non sono convinto del mio ragionamento, punto secondo non c'entra nulla con il suggerimento che, per inciso, non riesco a capire. Cosa significa integrare il campo X? In classe avevamo parlato di curve integrali rispetto ad un campo vettoriale, ma è un concetto che non mi sembra rientri nella questione, sbaglio? Vi prego aiutatemi, sicuramente mi sto perdendo qualcosa di fondamentale ma non riesco a capire cosa
. Il secondo punto preferirei affrontarlo dopo aver pensato al primo. Grazie mille!
stavo studiando Geometria Differenziale e mi sono bloccato su un esercizio che non riesco a sbrogliare. Innanzitutto mi scuso per il modo di scrivere, se sbaglio qualcosa ditemelo, ma è la prima volta che scrivo sul forum oppure scrivo in LateX. Anche se dovrò abituarmi per fare la tesi (ed altro, si spera
) perciò ben venga!Questo è il testo:
Campi coordinati
(i) Sia X un campo $C^1$ su S tale che $ X(P) ne 0 $. Dimostrare che esiste sempre una carta $ φ : ˜ U ⊂R^d → U = φ(˜ U)⊂ S $ intorno a P tale che $φ^∗X $(pull-back) $= ∂/(∂x_1)$ su$ ˜ U$.
(ii) Siano ora $ X_1,...,X_k $ campi vettoriali $C^1$ linearmente independenti in un punto $ P ∈ S $. Mostrare che se le traiettorie di questi campi commutano, allora esiste una carta $ φ : ˜ U ⊂ R^d → U = φ(˜ U) ⊂ S $intorno a P con coordinate ($x_i$)tali che $φ^∗X_i = ∂/(∂x_i)$, per $i = 1,..,k$.
Suggerimento per (i): integrare il campo X a partire da punti iniziali che stanno su una (d−1)-sottovariet`a $S_0 ⊂ S$ con TP S0 ⊥ V (P); quindi usare il TFI. Suggerimento per (ii): - definire un embedding da un aperto diRk in S utilizzando le traiettorie dei campoi $X_1,...,X_k $; - quindi estendere tale embedding a un diffeomorfismo da un aperto di $R^d$ a $S$.
Avevo pensato che, per il primo punto, avrei potuto dimostrare che preso un qualsiasi vettore $v∈R^n$ posso creare un cambio di coordinate che localmente me lo rende il primo vettore di una base di $R^n$ e poi completo il sistema di basi. Una volta fatto questo componendolo con la carta dovrei ottenere la tesi. Però punto primo non sono convinto del mio ragionamento, punto secondo non c'entra nulla con il suggerimento che, per inciso, non riesco a capire. Cosa significa integrare il campo X? In classe avevamo parlato di curve integrali rispetto ad un campo vettoriale, ma è un concetto che non mi sembra rientri nella questione, sbaglio? Vi prego aiutatemi, sicuramente mi sto perdendo qualcosa di fondamentale ma non riesco a capire cosa
. Il secondo punto preferirei affrontarlo dopo aver pensato al primo. Grazie mille!
Risposte
Vi prego ragazzi, aiutatemi 
Almeno se qualcuno riuscisse a darmi un input su come andare avanti o come impostare l'esercizio, perchè mi sento veramente perso.
Almeno se qualcuno riuscisse a darmi un input su come andare avanti o come impostare l'esercizio, perchè mi sento veramente perso.
"lupoermeyo":Impara da subito che si scrivere LaTeX
...è la prima volta che scrivo sul forum oppure scrivo in LateX...
Una domanda scema: \(\displaystyle S\) è la \(\displaystyle d\)-sfera o una varietà differenziabile qualunque?
Grazie! 
Io l'ho intesa come una varietà qualsiasi dato che non ha specificato, tendenzialmente quando parliamo di sfere le indica con $S^d$ .
Io l'ho intesa come una varietà qualsiasi dato che non ha specificato, tendenzialmente quando parliamo di sfere le indica con $S^d$ .
A prima lettura mi sembra abbastanza indicato, ora ci penso bene e scrivo per bene cosa ottengo.
Comunque anche io credo sia un overkilling, quest'esericizio mi è stato proposto nella parte iniziale delle dispense dove le uniche cose che abbiamo studiato (fino a questo punto) sono vari teoremi di analisi (TFI, teorema del Dini, ecc...) e le definizioni di spazio tangente ad una varietà e Push-Forward e Pull-Back. Per questo avevo proposto quel tipo di soluzione nel mio primo post. Però a mali estremi...
Comunque ora rifletto per bene e cerco di scrivere dove riesco ad arrivare, grazie mille j18eos!
Comunque anche io credo sia un overkilling, quest'esericizio mi è stato proposto nella parte iniziale delle dispense dove le uniche cose che abbiamo studiato (fino a questo punto) sono vari teoremi di analisi (TFI, teorema del Dini, ecc...) e le definizioni di spazio tangente ad una varietà e Push-Forward e Pull-Back. Per questo avevo proposto quel tipo di soluzione nel mio primo post. Però a mali estremi...
Comunque ora rifletto per bene e cerco di scrivere dove riesco ad arrivare, grazie mille j18eos!
Allora, provo ad esporre come ho cercato di risolvere il punto i). Premetto che ho ignorato il suggerimento non avendo ancora io capito cosa significhi integrare un campo vettoriale su una (d-1) sottovarietà.
Per definizione il Pull-Back di X $phi^star(X)$ = $sum_i X_i E_i$ ossia $X=sum_i V_i (del)/(delx_i)$ su $U$
Vogliamo trovare un Automorfismo di $mathbb{R^n}$ in modo che, localmente, si possa scrivere $X=(del)/(delx_i^{\prime})$.
Allora in $P$ il Pull-Back di $X su mathbb{R^n}$ sarà un vettore che chiameremo $v$. Risulta facile convincersi che è facile estendere l'insieme $mathcal{B}={v}$ ad una base di $mathbb{R^n} mathcal{B}={v,v_2,...,v_n}$ (ho chiamato, con abuso di notazione, sempre $mathcal{B}$ i due insiemi) con associate coordinate ${x_i^{\prime}}$.
In queste nuove coordinate $phi^star(X)$ = $1*v$, in particolare è il campo coordinato alla direzione $v$ su $mathbb{R^n}$ ed il suo Push_Forward sarà $(del)/(delx_1^{\prime})=phi_star(beta@phi^star(X))$.
Perciò la mappa $beta@phi$ è la mappa richiesta nel punto P. Vediamo che vale in un intorno $A$ di $P$.
$beta@phi$ localmente è un diffeomorfismo, ed essendo il campo $X(P)!=0$ vale che anche in un intorno di $P$ $X(P)$ è diverso da 0 (per l'ipotesi di $C^1$ sulle componenti $V_i$ del campo.). In particolare vale il ragionamento appena fatto per trovare un applicazione che porti il campo $X$ in un campo coordinato.
Adesso consideriamo $|v_P -v_(P^{\prime})| < epsilon$ $Rightarrow$ $|P-P^{\prime}|
Grazie.
Per definizione il Pull-Back di X $phi^star(X)$ = $sum_i X_i E_i$ ossia $X=sum_i V_i (del)/(delx_i)$ su $U$
Vogliamo trovare un Automorfismo di $mathbb{R^n}$ in modo che, localmente, si possa scrivere $X=(del)/(delx_i^{\prime})$.
Allora in $P$ il Pull-Back di $X su mathbb{R^n}$ sarà un vettore che chiameremo $v$. Risulta facile convincersi che è facile estendere l'insieme $mathcal{B}={v}$ ad una base di $mathbb{R^n} mathcal{B}={v,v_2,...,v_n}$ (ho chiamato, con abuso di notazione, sempre $mathcal{B}$ i due insiemi) con associate coordinate ${x_i^{\prime}}$.
In queste nuove coordinate $phi^star(X)$ = $1*v$, in particolare è il campo coordinato alla direzione $v$ su $mathbb{R^n}$ ed il suo Push_Forward sarà $(del)/(delx_1^{\prime})=phi_star(beta@phi^star(X))$.
Perciò la mappa $beta@phi$ è la mappa richiesta nel punto P. Vediamo che vale in un intorno $A$ di $P$.
$beta@phi$ localmente è un diffeomorfismo, ed essendo il campo $X(P)!=0$ vale che anche in un intorno di $P$ $X(P)$ è diverso da 0 (per l'ipotesi di $C^1$ sulle componenti $V_i$ del campo.). In particolare vale il ragionamento appena fatto per trovare un applicazione che porti il campo $X$ in un campo coordinato.
Adesso consideriamo $|v_P -v_(P^{\prime})| < epsilon$ $Rightarrow$ $|P-P^{\prime}|
Grazie.
"lupoermeyo":C'ho un pò pensato in questi giorni, e direi che basti per affermare l'esistenza di un tale intorno in \(\displaystyle P\).
...Per il finale forse sarebbe bastato invocare il TFI...
Spero di non aver scritto sciocchezze!
Si, anche io credo che nel finale basti invocare il TFI per ottenere la risposta. Perchè tanto io voglio la tesi solo in un intorno qualsiasi, che coincide con quello del teorema.
Questa materia mi farà impazzire, ci sono così tanti esercizi che non sono molto convinto di saper risolvere
Questa materia mi farà impazzire, ci sono così tanti esercizi che non sono molto convinto di saper risolvere
j18eos scusami se ti disturbo ancora, ma tu per caso hai capito il significato del suggerimento offerto dal professore? Secondo te cosa intende per integrare il campo?
Penso che il suggerimento si riferisse a questo:
Sia \(\displaystyle (U,\phi) \) una carta centrata in \(\displaystyle P \) e siano \(\displaystyle u_i = x_i\circ\phi \) dove le \(\displaystyle x_i \) sono le normali funzioni coordinate di \(\displaystyle \mathbb{R}^n \), ovvero \(\displaystyle x_i\colon (p_1,\dotsc,p_i,\dotsc,p_n)\mapsto p_i \). Non so se tu usi una differente notazione.
Siccome \(\displaystyle X(P)\neq 0 \) allora esiste un \(\displaystyle i \) tale che \(\displaystyle Xu_i(P)\neq 0 \). Per le ipotesi esiste una carta connessa \(\displaystyle (V,\psi) \) tale che \(\displaystyle Xu_i(P)\neq 0 \) su tutto \(\displaystyle V \).
Se vuoi una dimostrazione topologica puoi usare il fatto che la varietà è T3 (se non ricordo male) e il punto \(\displaystyle P \) può essere separato dal chiuso \(\displaystyle \{ Q\in S : Xu_i(Q) = 0 \} \) da un qualche aperto. Eventualmente prendendone uno più piccolo abbiamo la nostra carta.
Sia \(\displaystyle V_0 = \{ Q\in V : u_i(Q) = 0 \} \). Questa è una \(\displaystyle n-1 \) sottovarietà.
Il pullback \(\displaystyle \psi^{\ast} X \) definisce un sistema di equazioni differenziali ordinario del primo ordine su \(\displaystyle \psi V_0 \). Eventualmente prendendo un aperto più piccolo (incluso in qualche compatto per esempio) esiste un \(\displaystyle T>0 \) tale che la soluzione \(\displaystyle c_{Q} \) del sistema di EDO in ogni punto \(\displaystyle Q\in \psi V_0 \) è ben definita con immagine in \(\displaystyle \psi V \) per ogni valore dell'intervallo \(\displaystyle (-T,T) \). Sia \(\displaystyle \Phi\colon V_0\times (-T,T)\to \psi S \) la funzione definita come \(\displaystyle \Phi(Q,s) = c_Q(s) \). Definisco infine \(\displaystyle \tilde{U} \) come la controimmagine tramite \(\displaystyle \psi \) di \(\displaystyle \Phi( \) (nota che sia \(\displaystyle \Phi \) che \(\displaystyle \psi \) sono diffeomorfismi) e la \(\displaystyle \varphi \) la funzione inversa di \(\displaystyle \psi^{-1} \circ \Phi \) e ho la carta che cercavo. Se non ho fatto errori da qualche parte ovviamente.
Per semplificarsi la vita si può supporre che \(\displaystyle \psi V = \bigcap_i \{ P\in \mathbb{R}^n : -1 < x_i < 1 \} \). Ogni carta contiene una carta di questo tipo.
Sia \(\displaystyle (U,\phi) \) una carta centrata in \(\displaystyle P \) e siano \(\displaystyle u_i = x_i\circ\phi \) dove le \(\displaystyle x_i \) sono le normali funzioni coordinate di \(\displaystyle \mathbb{R}^n \), ovvero \(\displaystyle x_i\colon (p_1,\dotsc,p_i,\dotsc,p_n)\mapsto p_i \). Non so se tu usi una differente notazione.
Siccome \(\displaystyle X(P)\neq 0 \) allora esiste un \(\displaystyle i \) tale che \(\displaystyle Xu_i(P)\neq 0 \). Per le ipotesi esiste una carta connessa \(\displaystyle (V,\psi) \) tale che \(\displaystyle Xu_i(P)\neq 0 \) su tutto \(\displaystyle V \).
Se vuoi una dimostrazione topologica puoi usare il fatto che la varietà è T3 (se non ricordo male) e il punto \(\displaystyle P \) può essere separato dal chiuso \(\displaystyle \{ Q\in S : Xu_i(Q) = 0 \} \) da un qualche aperto. Eventualmente prendendone uno più piccolo abbiamo la nostra carta.
Sia \(\displaystyle V_0 = \{ Q\in V : u_i(Q) = 0 \} \). Questa è una \(\displaystyle n-1 \) sottovarietà.
Il pullback \(\displaystyle \psi^{\ast} X \) definisce un sistema di equazioni differenziali ordinario del primo ordine su \(\displaystyle \psi V_0 \). Eventualmente prendendo un aperto più piccolo (incluso in qualche compatto per esempio) esiste un \(\displaystyle T>0 \) tale che la soluzione \(\displaystyle c_{Q} \) del sistema di EDO in ogni punto \(\displaystyle Q\in \psi V_0 \) è ben definita con immagine in \(\displaystyle \psi V \) per ogni valore dell'intervallo \(\displaystyle (-T,T) \). Sia \(\displaystyle \Phi\colon V_0\times (-T,T)\to \psi S \) la funzione definita come \(\displaystyle \Phi(Q,s) = c_Q(s) \). Definisco infine \(\displaystyle \tilde{U} \) come la controimmagine tramite \(\displaystyle \psi \) di \(\displaystyle \Phi( \) (nota che sia \(\displaystyle \Phi \) che \(\displaystyle \psi \) sono diffeomorfismi) e la \(\displaystyle \varphi \) la funzione inversa di \(\displaystyle \psi^{-1} \circ \Phi \) e ho la carta che cercavo. Se non ho fatto errori da qualche parte ovviamente.
Per semplificarsi la vita si può supporre che \(\displaystyle \psi V = \bigcap_i \{ P\in \mathbb{R}^n : -1 < x_i < 1 \} \). Ogni carta contiene una carta di questo tipo.
Ciao, grazie della risposta!
Mi sembra tutto molto chiaro, però volevo chiederti solo un paio di cose riguardo ad alcune notazioni che hai usato.
Quando scrivi $Xu_i(P)$ cosa intendi precisamente? Io lo ho inteso come $X@u_i(P)$, se ho interpretato correttamente però mi sorge un dubbio. $u_i(P) in mathbb{R}$ mentre invece il campo $X:= S rightarrow mathbb{R}^n$. Certo la varietà $S$ possiamo vederla come immersa in qualche $mathbb{R}^k$ ma questo come ci garantisce che la funzione $X@u_i(P)$ sia definita? Anche se la vedessimo come $X@phi(P)$ rimarrebbe lo stesso problema, nessuno ci garantisce che $phi(P) in S$ giusto? Probabilmente mi sono perso qualcosa
L'altra cosa che non ho ben capito è come hai fatto a dedurre che le varietà sono $T3$. Al mio livello (molto basilare, per me è la prima volta che incontro varietà) abbiamo definito le varietà come spazi topologici di Housdorff e paracompatti localmente isomorfi ad aperti di $mathbb{R}^n$ probabilmente da come ne parli tu queste nozioni sono equivalenti, giusto? Forse ho delle lacune in topologia, per caso $mathbb{R}^n$ è $T3$?
La parte finale sul pushforward invece credo di averla capita abbastanza, mi è piaciuto tantissimo come hai impostato il problema, è molto elegante e funzionale. Non credo mi sarebbe venuto in mente. Certo, continuo a non capire bene cosa intenda il mio professore quando parla di "integrare il campo su una n-1 sottovarietà", però forse c'è qalche connessione logica più profonda che ancora mi sfugge.
Grazie ancora per l'aiuto con questa bellissima ma, ahime, ancora ostica materia
Mi sembra tutto molto chiaro, però volevo chiederti solo un paio di cose riguardo ad alcune notazioni che hai usato.
Quando scrivi $Xu_i(P)$ cosa intendi precisamente? Io lo ho inteso come $X@u_i(P)$, se ho interpretato correttamente però mi sorge un dubbio. $u_i(P) in mathbb{R}$ mentre invece il campo $X:= S rightarrow mathbb{R}^n$. Certo la varietà $S$ possiamo vederla come immersa in qualche $mathbb{R}^k$ ma questo come ci garantisce che la funzione $X@u_i(P)$ sia definita? Anche se la vedessimo come $X@phi(P)$ rimarrebbe lo stesso problema, nessuno ci garantisce che $phi(P) in S$ giusto? Probabilmente mi sono perso qualcosa
L'altra cosa che non ho ben capito è come hai fatto a dedurre che le varietà sono $T3$. Al mio livello (molto basilare, per me è la prima volta che incontro varietà) abbiamo definito le varietà come spazi topologici di Housdorff e paracompatti localmente isomorfi ad aperti di $mathbb{R}^n$ probabilmente da come ne parli tu queste nozioni sono equivalenti, giusto? Forse ho delle lacune in topologia, per caso $mathbb{R}^n$ è $T3$?
La parte finale sul pushforward invece credo di averla capita abbastanza, mi è piaciuto tantissimo come hai impostato il problema, è molto elegante e funzionale. Non credo mi sarebbe venuto in mente. Certo, continuo a non capire bene cosa intenda il mio professore quando parla di "integrare il campo su una n-1 sottovarietà", però forse c'è qalche connessione logica più profonda che ancora mi sfugge.
Grazie ancora per l'aiuto con questa bellissima ma, ahime, ancora ostica materia
Ho usato quella notazione per essere più vicino a quella che hai usato tu, probabilmente a torto. Io con \(Xu_i(P)\) intendevo \(X_pu_i\) ovvero la derivazione della funzione \(u_i\) rispetto a \(X\). Altre notazione potrebbero essere \(\langle X, du_i\rangle_P\) e similari. Di fatto si tratta della componente di \(X\) nella \(i\)-esima direzione. Probabilmente in questi termini era più semplice.
In sostanza ho considerando un direzione in cui \(X\) aveva componente non nulla e ho sfruttato questo fatto per muovere lungo \(X\) un iperspazio. Siccome il movimento in quella direzione era sempre dello stesso segno questo mi garantiva che non passavo due volte dallo stesso punto. Se ci pensi in \(\mathbb{R}^2\) con un campo vettoriale costante diventa piuttosto intuitiva come cosa.
Sulla questione di T3 sono andato a controllare in giro sulla rete. Comunque puoi vedere qui http://topospaces.subwiki.org/wiki/Loca ... ly_regular come può essere dimostrato anche se è conseguenza di altri risultati. Che una varietà sia un spazio di Haudorff localmente compatto penso che tu lo sappia. Può essere utile sapere che è anche paracompatta. Insomma una varietà è un oggetto topologico piuttosto “buono”.
L'approccio che ho usato è piuttosto classico. Il termine integrale è riferito spesso alle soluzioni delle equazioni differenziali.
In sostanza ho considerando un direzione in cui \(X\) aveva componente non nulla e ho sfruttato questo fatto per muovere lungo \(X\) un iperspazio. Siccome il movimento in quella direzione era sempre dello stesso segno questo mi garantiva che non passavo due volte dallo stesso punto. Se ci pensi in \(\mathbb{R}^2\) con un campo vettoriale costante diventa piuttosto intuitiva come cosa.
Sulla questione di T3 sono andato a controllare in giro sulla rete. Comunque puoi vedere qui http://topospaces.subwiki.org/wiki/Loca ... ly_regular come può essere dimostrato anche se è conseguenza di altri risultati. Che una varietà sia un spazio di Haudorff localmente compatto penso che tu lo sappia. Può essere utile sapere che è anche paracompatta. Insomma una varietà è un oggetto topologico piuttosto “buono”.
L'approccio che ho usato è piuttosto classico. Il termine integrale è riferito spesso alle soluzioni delle equazioni differenziali.
Ti ringrazio davvero moltissimo, ora è tutto più chiaro
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