Esercizio sugli spazi vettoriali
Ciao! Ieri sera ho svolto un esercizio ma non sono proprio sicura di averlo fatto correttamente in tutti i suoi punti. Provo a scrivervi il testo e i miei passaggi volta per volta.
Dato lo spazio vettoriale $RR^3$, si coinsiderino i due vettori $e_1=(1, 1, 1)$, $e_2=(1, 0, 1)$
1) Si verifichi che sono linearmente indipendenti.
Per fare questo devo dimostrare che l'unica combinazione lineare uguale a zero è quella che si ottiene ponendo tutti i coefficenti uguali a zero. L'ho fatto e ho trovato che sono linearmente indipendenti.
2) Si completi ${e_1, e_2 }$ per ottenere una base di $RR^3$ e sia $e_3$ il terzo vettore ottenuto.
Ho sfruttato il teorema del completamento di una base (riporto tutto perchè non sono molto convinta).
Dim $RR^3$= 3
La base canonica è una base finita di $RR^3$, quindi possiamo utilizzarla per completare la base ${e_1, e_2 }$
$B={(1, 0, 0) , (0, 1, 0), (0, 0 ,1)}$
Sappiamo che ${e_1, e_2 }$ è una base di cardinalità 2, la definiamo $B'$
$EE Y sube B$ tale che $cardY= cardB'= 2$
quindi $(B-Y) U B'$ è una base di $RR^3$
$B''= {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 0, 1)}$
3) Si determini l'unico endomorfismo $g$ di $RR^3$ tale che $g(e_1)= (1, 1, 0)$, $g(e_2)= (0, 1, 1)$, e $g(e_3)= g(e_1) + g(e_2)$
Si ha un endomorfismo quando lo spazio del dominio è uguale allo spazio del codominio, nel nostro caso l'applicazione $g: RR^3 rarr RR^3$ (è corretto?)
Stiamo cercando il modo in cui agisce la funzione su i nostri vettori di $RR^3$
$v = x(e_1) +y(e_2) + z(e_3)$
passiamo all'applicazione e scriviamo che $g(v)= x*g(e_1) + y*g(e_2) + z*g(e_3)$ , ma $g(e_1)$, $g(e_2)$ e $g(e_3)$ li conosciamo (l'applicazione è lineare per cui $g(e_3)= g(e_1) + g(e_2) = g(e_1 + e_2)$ ), quindi sostituiamo
$g(v)= x*(1, 1, 0) + y*(0, 1, 1) + z*(1, 2, 1) = (x+y, x+y+2, y+z)$
possiamo ora definire $g: RR^3 rarr RR^3$
$g(x, y, z)= (x+y, x+y+2z, y+z)$
4) Si calocoli la matrice di $g$ rispetto alla base canonica di $RR^3$ e risoetto alla base ${e_1, e_2, e_3}$
Quella rispetto alla base canonica è $((1, 0, 1), (1, 1, 2), (0, 1, 1))$
Ora calcoliamo quella rispetto a ${e_1, e_2, e_3}$
$e_1 = (1, 1, 1)$
$e_2 = (1, 0, 1)$
$e_3 = (0, 0, 1)$
(devo sostituire semplicemente i valori, vero?)
$g(e_1)= (2, 4, 2)$
$g(e_2)= (1, 3, 1)$
$g(e_3)= (0, 2, 1)$
La matrice sarà quindi $((2, 4, 2), (1, 3, 1), (0, 2, 1))$
5) Si determino il nucleo e l'immagine di $g$
$kerg = {(x,y,z) in RR^3 | (x+y, x+y+2z, y+z) = 0}$
Ora imposto e risolvo il sistema, ottengo $x=0$ , $y=0$ e $z=0$
il nucleo quindi contiene il solo vettore nullo, quindi $g$ è inniettiva.
Per determinare l'immagine osserviamo l'equazione dimensionale:
$dimRR^3=dim Kerg + dim Img$
la dimensione del nucleo è 0 (contiene solo il vettore nullo)
la dimensione di $RR^3$ è 3
quindi la dimensione dell'immagine è 3 ed è uguale a quella del codomino...la funzione è surriettiva.
Si può dire qualcos'altro riguardo all'immagine di $g$ ?
Dato lo spazio vettoriale $RR^3$, si coinsiderino i due vettori $e_1=(1, 1, 1)$, $e_2=(1, 0, 1)$
1) Si verifichi che sono linearmente indipendenti.
Per fare questo devo dimostrare che l'unica combinazione lineare uguale a zero è quella che si ottiene ponendo tutti i coefficenti uguali a zero. L'ho fatto e ho trovato che sono linearmente indipendenti.
2) Si completi ${e_1, e_2 }$ per ottenere una base di $RR^3$ e sia $e_3$ il terzo vettore ottenuto.
Ho sfruttato il teorema del completamento di una base (riporto tutto perchè non sono molto convinta).
Dim $RR^3$= 3
La base canonica è una base finita di $RR^3$, quindi possiamo utilizzarla per completare la base ${e_1, e_2 }$
$B={(1, 0, 0) , (0, 1, 0), (0, 0 ,1)}$
Sappiamo che ${e_1, e_2 }$ è una base di cardinalità 2, la definiamo $B'$
$EE Y sube B$ tale che $cardY= cardB'= 2$
quindi $(B-Y) U B'$ è una base di $RR^3$
$B''= {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 0, 1)}$
3) Si determini l'unico endomorfismo $g$ di $RR^3$ tale che $g(e_1)= (1, 1, 0)$, $g(e_2)= (0, 1, 1)$, e $g(e_3)= g(e_1) + g(e_2)$
Si ha un endomorfismo quando lo spazio del dominio è uguale allo spazio del codominio, nel nostro caso l'applicazione $g: RR^3 rarr RR^3$ (è corretto?)
Stiamo cercando il modo in cui agisce la funzione su i nostri vettori di $RR^3$
$v = x(e_1) +y(e_2) + z(e_3)$
passiamo all'applicazione e scriviamo che $g(v)= x*g(e_1) + y*g(e_2) + z*g(e_3)$ , ma $g(e_1)$, $g(e_2)$ e $g(e_3)$ li conosciamo (l'applicazione è lineare per cui $g(e_3)= g(e_1) + g(e_2) = g(e_1 + e_2)$ ), quindi sostituiamo
$g(v)= x*(1, 1, 0) + y*(0, 1, 1) + z*(1, 2, 1) = (x+y, x+y+2, y+z)$
possiamo ora definire $g: RR^3 rarr RR^3$
$g(x, y, z)= (x+y, x+y+2z, y+z)$
4) Si calocoli la matrice di $g$ rispetto alla base canonica di $RR^3$ e risoetto alla base ${e_1, e_2, e_3}$
Quella rispetto alla base canonica è $((1, 0, 1), (1, 1, 2), (0, 1, 1))$
Ora calcoliamo quella rispetto a ${e_1, e_2, e_3}$
$e_1 = (1, 1, 1)$
$e_2 = (1, 0, 1)$
$e_3 = (0, 0, 1)$
(devo sostituire semplicemente i valori, vero?)
$g(e_1)= (2, 4, 2)$
$g(e_2)= (1, 3, 1)$
$g(e_3)= (0, 2, 1)$
La matrice sarà quindi $((2, 4, 2), (1, 3, 1), (0, 2, 1))$
5) Si determino il nucleo e l'immagine di $g$
$kerg = {(x,y,z) in RR^3 | (x+y, x+y+2z, y+z) = 0}$
Ora imposto e risolvo il sistema, ottengo $x=0$ , $y=0$ e $z=0$
il nucleo quindi contiene il solo vettore nullo, quindi $g$ è inniettiva.
Per determinare l'immagine osserviamo l'equazione dimensionale:
$dimRR^3=dim Kerg + dim Img$
la dimensione del nucleo è 0 (contiene solo il vettore nullo)
la dimensione di $RR^3$ è 3
quindi la dimensione dell'immagine è 3 ed è uguale a quella del codomino...la funzione è surriettiva.
Si può dire qualcos'altro riguardo all'immagine di $g$ ?
Risposte
Ok il punto 1)
Ok il punto 2)
Il punto 3) è errato. Ti spiego perchè.
Dato $v=xe_1+ye_2+ze_3$ non è vero che $v=(x,y,z)$ in quanto $e_1,e_2,e_3$ non è la base canonica di $RR^3$.
Pertanto dal fatto che
$g(v)=(x+y, x+y+2z, y+z)$
non puoi dedurre che
$g(x,y,z)=(x+y, x+y+2z, y+z)$
Se vuoi descrivere l'endomorfismo $g:RR^3\to RR^3$ (a proposito, è giusto che $g$ va da $RR^3$ in $RR^3$), ti basta sapere come agisce sui vettori di una base e questo è noto dalla traccia dell'esercizio.
Ti conviene scrivere prima la matrice associata a $g$ nella base $e_1,e_2,e_3$. Ti dico come: scrivi ognuna delle immagini $g(e_1)=(1,1,0)$, $g(e_2)=(0,1,1)$ e $g(e_3)=g(e_2)+g(e_3)=(1,2,1)$ come combinazione lineare dei vettori $e_1,e_2,e_3$. Poi usa la definizione di matrice associata a $g$ rispetto alla base. In ogni caso le componenti ottenute devono essere messe in colonna e non in riga come fai tu (sempre se non ho capito male cosa hai scritto!).
Postami prima questi risultati, poi andiamo avanti nella correzione. Passiamo alla matrice associata rispetto alla base canonica e al punto 5).
Ok il punto 2)
Il punto 3) è errato. Ti spiego perchè.
Dato $v=xe_1+ye_2+ze_3$ non è vero che $v=(x,y,z)$ in quanto $e_1,e_2,e_3$ non è la base canonica di $RR^3$.
Pertanto dal fatto che
$g(v)=(x+y, x+y+2z, y+z)$
non puoi dedurre che
$g(x,y,z)=(x+y, x+y+2z, y+z)$
Se vuoi descrivere l'endomorfismo $g:RR^3\to RR^3$ (a proposito, è giusto che $g$ va da $RR^3$ in $RR^3$), ti basta sapere come agisce sui vettori di una base e questo è noto dalla traccia dell'esercizio.
Ti conviene scrivere prima la matrice associata a $g$ nella base $e_1,e_2,e_3$. Ti dico come: scrivi ognuna delle immagini $g(e_1)=(1,1,0)$, $g(e_2)=(0,1,1)$ e $g(e_3)=g(e_2)+g(e_3)=(1,2,1)$ come combinazione lineare dei vettori $e_1,e_2,e_3$. Poi usa la definizione di matrice associata a $g$ rispetto alla base. In ogni caso le componenti ottenute devono essere messe in colonna e non in riga come fai tu (sempre se non ho capito male cosa hai scritto!).
Postami prima questi risultati, poi andiamo avanti nella correzione. Passiamo alla matrice associata rispetto alla base canonica e al punto 5).
"Paola90":
3) Si determini l'unico endomorfismo $g$ di $RR^3$ tale che $g(e_1)= (1, 1, 0)$, $g(e_2)= (0, 1, 1)$, e $g(e_3)= g(e_1) + g(e_2)$
Si ha un endomorfismo quando lo spazio del dominio è uguale allo spazio del codominio, nel nostro caso l'applicazione $g: RR^3 rarr RR^3$ (è corretto?)
Stiamo cercando il modo in cui agisce la funzione su i nostri vettori di $RR^3$
$v = x(e_1) +y(e_2) + z(e_3)$
fin qua è corretto?
come passaggio successivo scrivo quel vettore generico rispetto alla base ${e_1,e_2,e_3}$
$v=x*e_1 +y*e_2 + z*e_3 = x (1, 1, 1) +y (1, 0, 1) +z (0, 0 ,1) = (x+y, x, x+y+z)$
e ora? vado a tentativi....
il nostro vettore ha quelle componenti rispetto alla base fissata, adesso faccio quello che ho fatto prima, considerando però che la prima componente non è $x$, ma $x+y$ e così via?
provo a scrivere.
$g( (x+y, x, x+y+z) )=x * g(e_1) + y*g(e_2) + z*g(e_3)$
$g( (x+y, x, x+y+z) )= x(1,1,0) + y(0,1,1) + z(1,2,1)= (x+y, x+y+2z, y+z)$
è corretto? temo di essermi persa
"Paola90":
fin qua è corretto?
Sì.
Ti abbozzo la soluzione di questo punto, ok?
So che $g(e_1)=(1,1,0)$.
Scrivo $(1,1,0)$ come combinazione lineare di $e_1=(1,1,1),e_2=(1,0,1),e_3=(0,0,1)$.
E' facile verificare che
$(1,1,0)=e_1-e_3$
Quindi
(1) $g(e_1)=e_1-e_3$
So che $g(e_2)=(0,1,1)$. Scrivo $(0,1,1)$ come combinazione lineare di $e_1,e_2,e_3$.
E' facile verificare che
$(0,1,1)=e_1-e_2+e_3$
Quindi
(2) $g(e_2)=e_1-e_2+e_3$
Trova l'analoga (3) per $g(e_3)$. Una volta fatto ciò, dalla definizione, puoi ottenere facilmente la matrice associata a $g$ rispetto alla base $e_1,e_2,e_3$.
Scrivila. Se ci sono problemi fammi sapere.
Ok, $g(e_3) = (2, -1, 0)$
però mi è venuto un dubbio...prima $g(e_1)$ , $g(e_2)$ e $g(e_3)$ rispetto a quale base erano scritte? ....scusa per le mille domande, ma sono un pò cocciuta.
però mi è venuto un dubbio...prima $g(e_1)$ , $g(e_2)$ e $g(e_3)$ rispetto a quale base erano scritte? ....scusa per le mille domande, ma sono un pò cocciuta.
Ecco, allora è questo il punto che non hai ben compreso.
Scrivere
$g(e_3)=2e_1-e_2$
e scrivere
$g(e_3)=(2,-1,0)$
sono due cose ben diverse!!
Sono uguali solo nel caso in cui $e_1,e_2,e_3$ sialabase canonica di $RR^3$.
Nel primo caso
$2e_1-e_2=2(1,1,1)-(1,0,1)=(1,2,1)$ che è diverso da $(2,-1,0)$ !!!!
La terna della componenti del vettore non è la stessa cosa del vettore stesso (anche se sono entrambi terne di numeri)!
E' chiaro ora? Rifletti un po' su questa cosa. Puoi anche dare un'occhiata all'ottimo lavoro fatto dal buon Sergio qui e qui (e seguenti).
Scrivere
$g(e_3)=2e_1-e_2$
e scrivere
$g(e_3)=(2,-1,0)$
sono due cose ben diverse!!
Sono uguali solo nel caso in cui $e_1,e_2,e_3$ sialabase canonica di $RR^3$.
Nel primo caso
$2e_1-e_2=2(1,1,1)-(1,0,1)=(1,2,1)$ che è diverso da $(2,-1,0)$ !!!!
La terna della componenti del vettore non è la stessa cosa del vettore stesso (anche se sono entrambi terne di numeri)!
E' chiaro ora? Rifletti un po' su questa cosa. Puoi anche dare un'occhiata all'ottimo lavoro fatto dal buon Sergio qui e qui (e seguenti).
la matrice sarà $( (1,1,2) , (0, -1, -1), (-1, 1, 0))$
ho letto il tuo commento...provo a ripartire dalle basi, grazie.
ho letto il tuo commento...provo a ripartire dalle basi, grazie.
Sì. Si tratta della matrice associata a $g$ rispetto alla base $e_1,e_2,e_3$.
Ora devo andar via, quando avrò tempo proseguiremo con il resto dell'esercizio (sempre se qualcun altro utente non mi darà una mano).
Ciao!
Ora devo andar via, quando avrò tempo proseguiremo con il resto dell'esercizio (sempre se qualcun altro utente non mi darà una mano).
Ciao!
ciao e grazie! Io continuo a sbattere il muso su questi punti...
"Paola90":
1) Si verifichi che sono linearmente indipendenti.
Per fare questo devo dimostrare che l'unica combinazione lineare uguale a zero è quella che si ottiene ponendo tutti i coefficenti uguali a zero. L'ho fatto e ho trovato che sono linearmente indipendenti.
Un consiglio per il futuro: senza fare calcoli, puoi dire che quei due vettori sono linearmente indipendenti semplicemente perchè non sono multipli, senza fare calcoli.
Infatti, presi $n$ vettori $v_1, ..., v_n$ hai che sono linearmente indipendenti se e solo se uno può essere scritto come combinazione lineare degli altri (quindi, nel caso i vettori siano due, equivale al fatto che $v_1 = kv_2$ ovvero sono multipli).
credo che l'applicazione sia $g(x,y,z) = (x+y+2z, -y-z, -x+y)$
.....ma devo capire meglio il perchè!
in realtà non ne sono tanto convinta.. non mi tornano i conti facendo le verifiche!
.....ma devo capire meglio il perchè!
in realtà non ne sono tanto convinta.. non mi tornano i conti facendo le verifiche!
Non credo che l'applicazione $g$ da te trovata sia quella giusta, perchè, se non ho sbagliato i conti, non funziona con i vettori $e_1,e_2,e_3$.
Innanzitutto, ricapitoliamo quanto avevamo trovato (se non sbaglio a ricopiare):
$g(e_1)=e_1-e_3=(1,1,0)$
$g(e_2)=e_1-e_2+e_3=(0,1,1)$
$g(e_3)=2e_1-e_2=2(1,1,1)-(1,0,1)=(1,2,1)$
La matrice associata a $g$ nella base $e_1,e_2,e_3$ è $A=((1,1,2),(0,-1,-1),(-1,1,0))$
Nota che abbiamo messo in colonna le componenti di $g(e_1)$, $g(e_2)$, $g(e_3)$ rispetto alla base fissata.
Passiamo alla matrice associata a $g$ rispetto alla base canonica.
Si scrivono i vettori della base canonica $E_1,E_2,E_3$ come combinazione lineare di $e_1,e_2,e_3$.
Per esempio:
$E_1=(1,0,0)=e_2-e_3$
Quindi $g(E_1)=g(e_2)-g(e_3)=(0,1,1)-(2,-1,0)=(-2,2,1)=-2E_1+2E_2+E_3$
La prima colonna della matrice $B$ associata a $g$ rispetto alla base canonica sarà
$B=((-2,...,...),(2,...,...),(1,...,...))$
Completa tu in modo analogo le altre colonne, calcolando $E_2$ come combinazione lineare di $e_1,e_2,e_3$ e poi calcolando $g(E_2)$. E poi la stessa cosa per $E_3$.
Poi proseguiremo con l'esercizio...
Innanzitutto, ricapitoliamo quanto avevamo trovato (se non sbaglio a ricopiare):
$g(e_1)=e_1-e_3=(1,1,0)$
$g(e_2)=e_1-e_2+e_3=(0,1,1)$
$g(e_3)=2e_1-e_2=2(1,1,1)-(1,0,1)=(1,2,1)$
La matrice associata a $g$ nella base $e_1,e_2,e_3$ è $A=((1,1,2),(0,-1,-1),(-1,1,0))$
Nota che abbiamo messo in colonna le componenti di $g(e_1)$, $g(e_2)$, $g(e_3)$ rispetto alla base fissata.
Passiamo alla matrice associata a $g$ rispetto alla base canonica.
Si scrivono i vettori della base canonica $E_1,E_2,E_3$ come combinazione lineare di $e_1,e_2,e_3$.
Per esempio:
$E_1=(1,0,0)=e_2-e_3$
Quindi $g(E_1)=g(e_2)-g(e_3)=(0,1,1)-(2,-1,0)=(-2,2,1)=-2E_1+2E_2+E_3$
La prima colonna della matrice $B$ associata a $g$ rispetto alla base canonica sarà
$B=((-2,...,...),(2,...,...),(1,...,...))$
Completa tu in modo analogo le altre colonne, calcolando $E_2$ come combinazione lineare di $e_1,e_2,e_3$ e poi calcolando $g(E_2)$. E poi la stessa cosa per $E_3$.
Poi proseguiremo con l'esercizio...
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