Esercizio sugli spazi vettoriali
Salve a tutti, avrei un problema nella risoluzione di questo esercizio sugli spazi vettoriali.
Purtroppo non riesco a capire come risolverlo, sono riuscito infatti a pensare qualche soluzione per il primo punto, ma per gli altri due proprio non so come procedere.
Ecco l'esercizio in questione:
Assegnati i seguenti sottospazi:
Wh = L ((2,0,0,1),(-h,1,h,1),(2,2h,2,0)) con hε R
U = { (x,y,z,t) ε R4 2x + y - 2t = 0, y + z = 0 }
1) Determinare i valori di h tali che:
dimWh=3, dimWh=2, dimWh=1.
2) Determinare i valori di h tali che la somma U+Wh sia diretta.
3) Determinare i valori di h tali che il vettore (1,0,0,0) appartenta a Wh.
Per quanto riguarda il punto uno, ho calcolato il determinante della matrice formata dalle prime tre colonne, ponendolo uguale a zero. Mi trovo quindi che 4 - 4h^2 = 0, ovvero che se h=1 e h=-1 la matrice ha rango 3, di conseguenza la sua dimensione è 1 (numero incognite - rango).
Mi trovo poi che la dimensione è uguale a 3 per nessuna h, poichè esiste almeno un minore di ordine 2 che non dipende da h.
Per il punto due so che devo sfruttare la regola di Grassman, ho calcolato la dimensione di U che è uguale a 2, ma francamente non so come proseguire. Spero possiate darmi una mano con i tre punti.
Purtroppo non riesco a capire come risolverlo, sono riuscito infatti a pensare qualche soluzione per il primo punto, ma per gli altri due proprio non so come procedere.
Ecco l'esercizio in questione:
Assegnati i seguenti sottospazi:
Wh = L ((2,0,0,1),(-h,1,h,1),(2,2h,2,0)) con hε R
U = { (x,y,z,t) ε R4 2x + y - 2t = 0, y + z = 0 }
1) Determinare i valori di h tali che:
dimWh=3, dimWh=2, dimWh=1.
2) Determinare i valori di h tali che la somma U+Wh sia diretta.
3) Determinare i valori di h tali che il vettore (1,0,0,0) appartenta a Wh.
Per quanto riguarda il punto uno, ho calcolato il determinante della matrice formata dalle prime tre colonne, ponendolo uguale a zero. Mi trovo quindi che 4 - 4h^2 = 0, ovvero che se h=1 e h=-1 la matrice ha rango 3, di conseguenza la sua dimensione è 1 (numero incognite - rango).
Mi trovo poi che la dimensione è uguale a 3 per nessuna h, poichè esiste almeno un minore di ordine 2 che non dipende da h.
Per il punto due so che devo sfruttare la regola di Grassman, ho calcolato la dimensione di U che è uguale a 2, ma francamente non so come proseguire. Spero possiate darmi una mano con i tre punti.
Risposte
"luigino92":
Assegnati i seguenti sottospazi:
Wh = L ((2,0,0,1),(-h,1,h,1),(2,2h,2,0)) con hε R
U = { (x,y,z,t) ε R4 2x + y - 2t = 0, y + z = 0 }
1) Determinare i valori di h tali che:
dimWh=3, dimWh=2, dimWh=1.
Per quanto riguarda il punto uno, ho calcolato il determinante della matrice formata dalle prime tre colonne, ponendolo uguale a zero. Mi trovo quindi che 4 - 4h^2 = 0, ovvero che se h=1 e h=-1 la matrice ha rango 3, di conseguenza la sua dimensione è 1 (numero incognite - rango).
Mi trovo poi che la dimensione è uguale a 3 per nessuna h, poichè esiste almeno un minore di ordine 2 che non dipende da h.
Stai facendo un po' di confusione: la dimensione te la dà il rango della matrice (analogamente, è la dimensione dello spazio generato dalle colonne). Quindi, avendo sempre rango almeno 2, non avrai mai dimensione $=1$. La dimensione è sempre $3$ salvo i casi $h= \pm 1$, in cui la dimensione è $2$.
Il terzo punto è semplice, ti basta considerare la matrice $4 \times 4$ ottenuta da quella che già hai con accanto la colonna del vettore $(1,0,0,0)$. Quindi imporre che tale matrice abbia rango non massimo, ovvero stai chiedendo che l'ultima colonna si esprima come combinazione lineare delle altre $3$.
Il secondo punto è pure semplice: per avere somma diretta, la dimensione di entrambi gli spazi deve essere $2$. Quindi devi solo controllare i casi in cui il primo spazio ha dimensione due, ovvero due casi ($h=1,-1$).
Ciao!
Grazie mille per l'aiuto.
Solo una curiosità, quand'è che la dimensione è uguale a numero di incognite meno il rango? Ho diversi esercizi svolti dal professore in cui trova la dimensione attraverso questa formula.
Solo una curiosità, quand'è che la dimensione è uguale a numero di incognite meno il rango? Ho diversi esercizi svolti dal professore in cui trova la dimensione attraverso questa formula.
La dimensione dello spazio vettoriale è sempre e solo il rango. La tua formula non ha senso per me.
Se metti la risoluzione di una parte di esercizio del professore sul forum (nel senso quello che hai negli appunti) possiamo cercare di capire che cosa intendeva. Sappi che il forum permette l'inserimento delle formule.
Se metti la risoluzione di una parte di esercizio del professore sul forum (nel senso quello che hai negli appunti) possiamo cercare di capire che cosa intendeva. Sappi che il forum permette l'inserimento delle formule.
La formula "numeroincognite -rango" rappresenta la dimensione del nucleo in una applicazione lineare.
"luigino92":
Grazie mille per l'aiuto.
Solo una curiosità, quand'è che la dimensione è uguale a numero di incognite meno il rango? Ho diversi esercizi svolti dal professore in cui trova la dimensione attraverso questa formula.
Ti riferisci ai sistemi lineari penso. Se hai un sistema lineare omogeneo $n \times n$, allora la dimensione dello spazio delle soluzioni (il numero di parametri, se vuoi) lo trovi come $n - \text{rk}(A)$, dove $A$ è la matrice dei coefficienti.
Il motivo è semplice: $\text{rk}(A)$ è la dimensione dell'immagine della matrice, ma le soluzioni sono elementi del nucleo, e in generale vale $\dim (\text{ker} A) = n - \dim (\text{Im}A)$
quindi nel caso in cui stia svolgendo un esercizio sugli spazi vettoriali la dimensione è uguale al rango, mentre quando si tratta ad esempio di un endomorfismo (ad es.la dimensione di un autospazio) la dimensione è uguale ad n - p(a)?
E' sempre meglio non imparare regole mnemoniche. Se hai un endomorfismo, puoi dover calcolare la dimensione di molte cose, ad esempio dell'immagine, e allora hai solo da vedere il rango della matrice dell'applicazione.
Se hai un autospazio da trovare, siccome l'autospazio è un nucleo (per la matrice $A-tI$), allora vale l'altre regola, ma ti conviene capire il motivo piuttosto che ricordare la ricetta.
Se hai un autospazio da trovare, siccome l'autospazio è un nucleo (per la matrice $A-tI$), allora vale l'altre regola, ma ti conviene capire il motivo piuttosto che ricordare la ricetta.
Grazie mille, credo di aver capito, cercherò di approfondire in modo da non commettere errori.
Grazie ancora per avermi chiarito questo dubbio!
Grazie ancora per avermi chiarito questo dubbio!
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