Esercizio sugli spazi topologici
Ecco una scasione del mio esercizio di topologia:
http://img808.imageshack.us/img808/295/scanj.jpg
Lo spazio topologico non è di Hasdorff perchè comunque prendo due punti e i corrispettivi due intorni questi non sono mai disgiunti.
L'interiore di $ Y=[-3,0] $ è il vuoto , perchè non c'è nessuno aperto della nostra topologia contenuto in esso.
La chiusura di $ Y=[-3,0] $ è R, perchè è il più piccolo chiuso che lo contiene.
S è a base numerabile perchè se considero $ q in Q $ tale che $ q > a $ e considero l'unione degli intervalli $ Iq $ che mi genera tutto lo spazio topologico.
E' connesso , perchè non esistono due aperti disgiunti la cui unione mi dà tutto lo spazio topologico, e mi sa che è anche separabile
La successione converge per ogni $ x in ]2,+oo[ $ .
Mi sembra che è continua in 3 e in 0 no.
Mi servirebbe anche solo una conferma o meno, sennò posto il mio ragionamento e mi dite dove sbaglio!
http://img808.imageshack.us/img808/295/scanj.jpg
Lo spazio topologico non è di Hasdorff perchè comunque prendo due punti e i corrispettivi due intorni questi non sono mai disgiunti.
L'interiore di $ Y=[-3,0] $ è il vuoto , perchè non c'è nessuno aperto della nostra topologia contenuto in esso.
La chiusura di $ Y=[-3,0] $ è R, perchè è il più piccolo chiuso che lo contiene.
S è a base numerabile perchè se considero $ q in Q $ tale che $ q > a $ e considero l'unione degli intervalli $ Iq $ che mi genera tutto lo spazio topologico.
E' connesso , perchè non esistono due aperti disgiunti la cui unione mi dà tutto lo spazio topologico, e mi sa che è anche separabile
La successione converge per ogni $ x in ]2,+oo[ $ .
Mi sembra che è continua in 3 e in 0 no.
Mi servirebbe anche solo una conferma o meno, sennò posto il mio ragionamento e mi dite dove sbaglio!
Risposte
"Greatkekko":
La chiusura di $ Y=[-3,0] $ è R, perchè è il più piccolo chiuso che lo contiene.
Sicuro? Quali sono i chiusi? Sai trovare un aperto che non lo contiene?
Sarà forse $ ]-oo ,2] $ il più piccolo chiuso che contiene $Y$ ?
E' separabile perchè ogni numero irrazionale è di accumulazione per ogni razionale, infatti se consideri gli irrazionali, ogni aperto che li contiene, contiene ovviamente anche un razionale.
La successione converge solo nei punti di ascissa minore o uguale di $3$, se infatti prendi un punto qualunque di ascissa maggiore, puoi sempre trovare un aperto che non contiene la successione definitivamente, ne contiene solo un numero finito.
La base numerabile la ottiene prendendo gli aperti che hanno l'estremo inferiore uguale ad un numero razionale + il vuoto. Ogni aperto lo puoi ottenere con unione nuberabile di questi insiemi.
Il chiuso è [tex](-\infty,0][/tex]
La successione converge solo nei punti di ascissa minore o uguale di $3$, se infatti prendi un punto qualunque di ascissa maggiore, puoi sempre trovare un aperto che non contiene la successione definitivamente, ne contiene solo un numero finito.
La base numerabile la ottiene prendendo gli aperti che hanno l'estremo inferiore uguale ad un numero razionale + il vuoto. Ogni aperto lo puoi ottenere con unione nuberabile di questi insiemi.
Il chiuso è [tex](-\infty,0][/tex]
Perchè il chiuso è $]-oo,0] $? Il suo complementare non è un aperto della topologia data, quindi come può esserne un chiuso?
Sulla base numerabile non ho detto la stessa cosa che hai detto tu?
Regim quindi quando devo trovare i punti di convergenza della successione preso un punto devo considerarne tutti i possibili intorni?
Sulla base numerabile non ho detto la stessa cosa che hai detto tu?
Regim quindi quando devo trovare i punti di convergenza della successione preso un punto devo considerarne tutti i possibili intorni?
Scusa, ma nel testo riportato nell'immagine, un aperto, non è un insieme di questo tipo [tex]]a,+\infty[[/tex]? Se non è così dovrei rivedere le risposte.
Si ma c'è la condizione che $ a \geq 2 $
Hai ragione caspita, va beh non cambia nulla nella risposte, cambia solo l'estremo inferiore del chiuso che ti ho dato che diventa [tex][2,0][/tex].
[edit] anzi non cambia nemmeno quello, perchè è vero che gli aperti hanno un estremo inferiore maggiore uguale 2, ma questo non esclude gli altri punti. Infondo la limitazione è per quell'estremo inferiore degli aperti.
[edit] anzi non cambia nemmeno quello, perchè è vero che gli aperti hanno un estremo inferiore maggiore uguale 2, ma questo non esclude gli altri punti. Infondo la limitazione è per quell'estremo inferiore degli aperti.
"regim":
Hai ragione caspita, va beh non cambia nulla nella risposte, cambia solo l'estremo inferiore del chiuso che ti ho dato che diventa [tex][2,0][/tex].
Mmm.. non mi è chiaro! Non è che hai scritto male?
Ho fatto un [edit] sopra, in pratica va bene come chiuso [tex](-\infty, 2][/tex] il complemento è un nostro aperto infatti, non è un chiuso questo, per esempio, [tex](-\infty,1][/tex] il complemento non è un aperto della topologia.
Va bene ora?
PS
In effetti ho messo lo $0$ sopra perchè non avevo visto la limitazione nell'immagine.
Va bene ora?
PS
In effetti ho messo lo $0$ sopra perchè non avevo visto la limitazione nell'immagine.
Ma se il complemento di $ (-oo,0] $ è un aperto, perchè il complemento di $ (-oo,1] $ non è aperto?
"Greatkekko":
Ma se il complemento di $ (-oo,0] $ è un aperto, perchè il complemento di $ (-oo,1] $ non è aperto?
Scusa mi sono corretto infatti hai ragione, dobbiamo fermarci a $2$, in pratica al posto di $0$ va posto $2$, avevo messo $0$ perchè non avevo visto questa limitazione. Ciao
Grazie mille, ciao!!
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