Esercizio sugli spazi quoziente
Ciao a tutti, ho un dubbio sul seguente esercizio:
Sia V lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine 2 a entrate reali. Sia W il sottospazio
vettoriale di V formato dalle matrici a traccia nulla.
Determinare la dimensione ed una base dello spazio vettoriale quoziente V/W.
Ora ovviamente $dimV=4$, e $W=<((1,0),(0,-1)),((0,1),(0,0)),((0,0),(1,0))>$ quindi $dimW=3$ e $dimV/W=1$.
Facendo però il completamento della base di W alla base di V per trovare la base di V/W, sia $((1,0),(0,0))$ che $((0,0),(0,1))$ completano la base... Quindi qual è l'elemento della base di V/W? Il primo o il secondo? E perchè?
Grazie
Sia V lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine 2 a entrate reali. Sia W il sottospazio
vettoriale di V formato dalle matrici a traccia nulla.
Determinare la dimensione ed una base dello spazio vettoriale quoziente V/W.
Ora ovviamente $dimV=4$, e $W=<((1,0),(0,-1)),((0,1),(0,0)),((0,0),(1,0))>$ quindi $dimW=3$ e $dimV/W=1$.
Facendo però il completamento della base di W alla base di V per trovare la base di V/W, sia $((1,0),(0,0))$ che $((0,0),(0,1))$ completano la base... Quindi qual è l'elemento della base di V/W? Il primo o il secondo? E perchè?
Grazie
Risposte
va bene sia $((1,0),(0,0)$ che $((0,0),(0,1)$ basta che ne scegli solo una delle due poichè sia $<(100-1),(0100),(0010),(1000)>$ che $<(100-1),(0100),(0010),(0001)>$ formano una base per $V$
Ma non è strano che V/W possa avere due basi diverse?!?
assolutamente no uno spazio vettoriale qualunque può avere tantissime basi ad esempio $R^2$ ha come base sia $<(1,0),(0,1)>$ (base standard) sia $<(1,5),(0,-1)>$
Giusto, hai ragione! Grazie
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