Esercizio sugli spazi duali
Salve,oggi avevo incominciato a fare qualche esercizio sugli spazi duali,e al secondo di questi ho avuto un po' di difficoltà,ma alla fine penso di aver trovato un modo per dimostrarlo,però vi sarei grato se potreste controllare la dimostrazione.
L'esercizio è questo:"Dimostrare che \( A(S)=A(L(S)) \)"(dove $S$ è un sottospazio di $V$(uno spazio vettoriale finito-dimensionale),$V^{*}$ è il duale di $V$,$L(s)$ indica lo span di $S$ e \( A(S)=\{f \in V^{*}|f(s)=0,\forall s \in S\} \) ).
Per dimostrare questo io ho fatto così:
Dato che \( S \subseteq L(S) \), allora \( A(L(S)) \subseteq A(S) \),poi
\( A(S)=\{f \in V^{*}|f(s)=0,\forall s \in S\} \)
e
\( A(L(S))=\{f \in V^{*}|f(a\cdot s )=0,\forall s,a \in S\} \) .
Ora,quando \( f(s)=0 \) ,\( f(a\cdot s )=0 \) e dato che \( A(L(S)) \subseteq A(S) \),allora \( A(S)=A(L(S)) \).
L'esercizio è questo:"Dimostrare che \( A(S)=A(L(S)) \)"(dove $S$ è un sottospazio di $V$(uno spazio vettoriale finito-dimensionale),$V^{*}$ è il duale di $V$,$L(s)$ indica lo span di $S$ e \( A(S)=\{f \in V^{*}|f(s)=0,\forall s \in S\} \) ).
Per dimostrare questo io ho fatto così:
Dato che \( S \subseteq L(S) \), allora \( A(L(S)) \subseteq A(S) \),poi
\( A(S)=\{f \in V^{*}|f(s)=0,\forall s \in S\} \)
e
\( A(L(S))=\{f \in V^{*}|f(a\cdot s )=0,\forall s,a \in S\} \) .
Ora,quando \( f(s)=0 \) ,\( f(a\cdot s )=0 \) e dato che \( A(L(S)) \subseteq A(S) \),allora \( A(S)=A(L(S)) \).
Risposte
$A(L(S))$ non è definito così. Devi osservare, invece, che quando $f$ si annulla sui generatori di $L(S)$, allora si annulla su qualsiasi combinazioni lineare di questi generatori.
Ni.
A voler essere precisi devi dimostrare che preso $f \in A(S)$ hi Che $\forall v \in L(S), f(v) = 0$. Insomma ci sei ma devi concludere, lo studio dell'algebra lineare serve a farti diventare il più preciso possibile.
A voler essere precisi devi dimostrare che preso $f \in A(S)$ hi Che $\forall v \in L(S), f(v) = 0$. Insomma ci sei ma devi concludere, lo studio dell'algebra lineare serve a farti diventare il più preciso possibile.
Se \(S\) è un sottospazio allora banalmente \(L(S)=S\). Pertanto suppongo che \(S\) sia un sottoinsieme di \(V\) e non un sottospazio.
Grazie a tutti.
@killing_buddha:scusa ma se io prendo il prodotto scalare fra un vettore $s$ e uno $a$ non ottengo una combinazione lineare,che dovrebbe essere un elemento di $L(s)$?
@Shocher:il libro porta qualcosa di simile a quello che dici tu,per una dimostrazione di altro genere,ponendo $f$ come il prodotto scalare fra $\vec{a_1}$ con $\vec{s}$ ed eguagliandolo a zero.Tu intendi questo?
@vict85:scusa,hai ragione,ho tradotto male il testo.
@killing_buddha:scusa ma se io prendo il prodotto scalare fra un vettore $s$ e uno $a$ non ottengo una combinazione lineare,che dovrebbe essere un elemento di $L(s)$?
@Shocher:il libro porta qualcosa di simile a quello che dici tu,per una dimostrazione di altro genere,ponendo $f$ come il prodotto scalare fra $\vec{a_1}$ con $\vec{s}$ ed eguagliandolo a zero.Tu intendi questo?
@vict85:scusa,hai ragione,ho tradotto male il testo.
Il prodotto vettoriale tra due vettori di uno spazio vettoriale sui reali è un numero reale e non un elemento di \(L(S)\). Immagino che tu stia erroneamente identificando \(V\) con \(\mathbb{R}\) e \(S\) con un qualche insieme di incognite, ma non è affatto così.
Insomma non confondere \(v=a_1v_1+\dotsb + a_kv_k\) con un prodotto scalare. Nota inoltre che \(S\) non è necessariamente finito.
Insomma non confondere \(v=a_1v_1+\dotsb + a_kv_k\) con un prodotto scalare. Nota inoltre che \(S\) non è necessariamente finito.
grazie per avermi tolto questo dubbio,ora devo capire come dimostrare.
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