Esercizio sugli spazi compattamente generati

[mklplo751]

Salve, continuando a vedere alcune cose di Geometria 2, stavo vedendo un altro esercizio del Manetti, ovvero il 5.25. La traccia è "Sia $(X, \tau)$ uno spazio topologico compattamente generato e $Y$ uno quoziente topologico di $X$ di Hausdorff, allora $Y$ è compattemente generato"
(per compattamente generato intendo che $C \subset X$ è chiuso se e solo se $C nn K$ è chiuso in $K$ per ogni $K$ compatto in $X$).
Io ho provato in questo modo:

Sia $C \subset Y$ tale che $C nn H$ è chiuso in $H$ per ogni $H \subset Y$ compatto e $K$ compatto in $X$, ci basta dimostrare che $\pi ^-1(C) nn K$ è chiuso in $K$ (con $\pi$ intendo la proiezione al quoziente). Infatti dal fatto che $X$ è compattamente generato e che $pi$ è un'identificazione, seguirà la tesi. Per fare ciò, prendo $x \in K\\ \pi^-1 (C)$ allora (poichè $ K \\ \pi^-1(C)=K nn X\\ \pi^-1(C)=K nn \pi^-1(Y\\C)=>pi(K\\ \pi^-1(C))=\pi(K) nn Y\\C= \pi(K)\\ C $ )$\pi(x) \in \pi(K) \\ C$ allora dato che $C nn \pi(K)$ è chiuso in un compatto è compatto, allora dato che lo spazio è T2 esistono degli intorni aperti disgiunti di $\pi(x)$ e di $C nn \pi(K)$, allora sfruttando il fatto che $\pi$ è continua, esistono intorni aperti disgiunti in $K$ di $x$ e di $\pi^-1(C) nn \pi^-1( \pi(K))$ allora esiste un intorno di $x$ che ha intersezione vuota con $pi^-1(C)$. Da ciò segue che il complementare di $\pi^-1(C)$ in $K$ è aperto, e allora $pi^-1(C) nn K$ è chiuso in $K$.

Se non vi reca disturbo, potreste dirmi se va bene?

[j18eos]

Essendo \(Y\) di Hausdorff, allora ogni suo sottoinsieme compatto è chiuso; di conseguenza per ogni sottoinsieme chiuso \(C\) e compatto \(K\) si ha che \(C\cap K\) è chiuso.

L'altra implicazione non è banale.

Ho capìto bene?

[mklplo751]

Grazie per aver risposto. Sì, alla fine quello che ho provato a dimostrare era appunto l'altra implicazione, dato che come dici tu, una delle due era banale. Sostanzialmente quello che ho provato a dimostrare è che i compatti formano un ricoprimento fondamentale.

[Studente Anonimo]

Ciao, se vuoi la mia opinione, non va bene per niente. Non perché tu non abbia capito, perché da quanto scrivi si capisce che capisci molto, ma dal fatto che non puoi dimostrare una cosa pensando "dimostro solo un'implicazione perché l'altra è ovvia, sottintendo qual è quella ovvia, comincio la dimostrazione sottintendendo la tesi e faccio pure una riduzione anch'essa sottintesa", e dopo aver sottinteso tutto questo cominci.

Come invece vanno fatte le cose? Dicendo "ci sono due implicazioni ... ora dimostro la prima ... l'ipotesi è questa, ora dimostro la tesi che è questa ... ora dimostro la seconda ... l'ipotesi è questa, ora dimostro la tesi che è questa". Se ci sono cose ovvie, dì che sono ovvie e fornisci un argomento.

"mklplo":Sia $C$ chiuso in $Y$ e $K$ compatto in $X$, ci basta dimostrare che $\pi ^-1(C) nn K$ è chiuso in $K$ (con $\pi$ intendo la proiezione al quoziente).

"Ci basta dimostrare questo" per dimostrare cosa? (Vedi il mio commento sopra). Inoltre il fatto che $\pi^-1(C) nn K$ è chiuso in $K$ non è totalmente immediato? $C$ è chiuso in $Y$, $pi$ è continua, quindi $pi^-1(C)$ è chiuso in $X$, quindi la sua intersezione con $K$ è chiusa in $K$, per definizione di topologia di sottospazio. E questo argomento non usa neppure il fatto che $Y$ è Hausdorff.

Insomma ho l'impressione che tu abbia dimostrato una cosa relativamente ovvia e abbia lasciato come sottinteso perché ovvio una cosa che ovvia non è (anche perché non si capisce dove tu abbia usato l'ipotesi che $Y$ è Hausdorff).

[mklplo751]

@Martino: grazie...mi sono accorto solo adesso che ho scritto una cosa per un'altra: volevo dire $C nn H$ chiuso in $H$ per ogni compatto $H$ di $Y$ (che era l'ipotesi) e invece ho detto $C$ chiuso in $Y$ (ovvero la tesi)...
Ora correggo un attimo il messaggio di partenza.
Scusate entrambi per la disattenzione.
P.s: nella dimostrazione uso l'ipotesi di Hausdorff per trovare intorni aperti che "separano" i $pi(x)$ e $C nn pi(K)$.
P.p.s: dal fatto che $\pi^-1(C) nn K$ è chiuso in $K$ per ogni compatto e dal fatto che $X$ è compattamente generato, segue $\pi^-1(C)$ chiuso in $X$ e dal fatto che $\pi$ è un'identificazione segue che $C$ è chiuso in $Y$ che era la tesi.

[j18eos]

"mklplo":[...]$ C nn \pi^-1 (K) $[...]

Cosa volevi affermare?

Ti ricordo che \(\displaystyle C\subseteq Y,K\subseteq X,\pi:X\to Y\), quindi quello che hai scritto non ha alcun senso.

[mklplo751]

E non capisco perchè ho fatto un errore di distrazione nuovamente...ora ho corretto: $C nn \pi(K)$ era la scrittura giusta...è uscito un $-1$ di troppo.

[j18eos]

Ora è tutto corretto, ma non capisco dove usi l'ipotesi che \(\displaystyle C\cap H\) è chiuso ...

[mklplo751]

La uso proprio nel passaggio che ho corretto per avere la compattezza per poi sfruttare la proprietà di Hausdorff.
Senza quell'ipotesi, non saprei come dire che $\pi (K) nn C$ è compatto.

[j18eos]

Sì, hai ragione: m'era sfuggito!

[mklplo751]

Ah, ok per un attimo pensavo di aver usato qualcosa di troppo.
Grazie per aver confermato che dopo le correzioni la dimostrazione andava bene e scusa nuovamente per i vari errori.