Esercizio sugli isomorfismi canonici

[Vblasina]

Salve a tutti,
Stavo studiando il duale (e il biduale) di uno spazio vettoriale, e cerco di dimostrare il seguente:


Siano \(\displaystyle \Psi_V, \Psi_W \) gli isomorfismi canonici sui due spazi \(\displaystyle V, W \) e i loro biduali \(\displaystyle V'', W'' \), \(\displaystyle T\in Hom(V,W) \) un'applicazione lineare e \(\displaystyle T'' \in Hom(V'', W'') \) la trasposta della sua trasposta. Voglio dimostrare che
\(\displaystyle T''=\Psi_W \circ T \circ \Psi_V^{-1} \). Ovvero (in termini di matrici trasposte) che \(\displaystyle ([T]^t)^t=[T] \). Tuttavia cerco un metodo che non dipenda dall'uso delle matrici, semplicemente usando le definizioni di applicazione duale/trasposta e dell'isomorfismo Psi.
Arrivo a dire che, per certe applicazioni \(\displaystyle \phi_V\in V' \), e \(\displaystyle \phi_W \in W' \),
\(\displaystyle T''(\phi_V)(v)=\phi_W(T(v)) \), cioè \(\displaystyle \phi_V(T'(v))=\phi_W(T(v)) \). Come posso proseguire?

[solaàl]

Affinché sia vero, gli spazi devono [non è necessario, ma aiuta a produrre un argomento elementare] avere dimensione finita.

Ciò detto, due mappe lineari che coincidono su una base coincidono ovunque.

[Stickelberger]

Forse e' piu' naturale dimostrare che $T''\cdot\Psi_V=\Psi_W\cdot T$.
E' immediato. Non bisogna scegliere basi.
E cosi' eviti anche l'ipotesi che $T$ sia un isomorfismo.

[Vblasina]

"Stickelberger":Forse e' piu' naturale dimostrare che $T''\cdot\Psi_V=\Psi_W\cdot T$.
E' immediato. Non bisogna scegliere basi.
E cosi' eviti anche l'ipotesi che $T$ sia un isomorfismo.

Perdonami se ho frainteso qualcosa, ma non mi pare di aver mai supposto che T fosse un isomorfismo.

"solaàl":Affinché sia vero, gli spazi devono [non è necessario, ma aiuta a produrre un argomento elementare] avere dimensione finita.

Ciò detto, due mappe lineari che coincidono su una base coincidono ovunque.

Hai ragione, mi sono dimenticato di aggiungerla tra le ipotesi!
Dunque, posso considerare gli elementi della base biduale \(\displaystyle v_1'',..,v_n'' \).
Allora l'enunciato mi dice che per ogni elemento della base di partenza \(\displaystyle v_j \),
\(\displaystyle \phi(T(v_j))=T'(\phi)(v_j)=T''(v_j'') \) per ogni \(\displaystyle \phi\in V' \).
E mo'?

[Stickelberger]

Perdonami se ho frainteso qualcosa, ma non mi pare di aver mai supposto che T fosse un isomorfismo.

Errore mio. Intendevo $\Psi_V$ invece di $T$.

[Vblasina]

Dopo averci perso più tempo del voluto, penso di aver trovato una soluzione. Perdonandomi se la notazione è un po' esoterica (comunque uso quella dell'Abate):
Per qualsiasi \(\displaystyle v\in V, \phi \in W' \), usando le proprietà della trasposta e la definizione dell'isomorfismo canonico:

\(\displaystyle T''\Psi_V(v)(\phi)=T''(\psi_v)(\phi)=\psi_v(T'(\phi))=T'(\phi)(v)=\phi(T(v)) \).

D'altronde

\(\displaystyle \Psi_WT(v)(\phi)=\psi_{Tv}(\phi)=\phi(T(v)) \)

L'uguaglianza è verificata, andate in pace