Esercizio su vettori - Sono fuso!
Ciao a tutti, dopo una mattinata passata in ufficio a programmare e il pomeriggio a studiare per l'esame di geometria sono arrivato al punto di esser fuso e non essere più in grado di fare anche le operazioni più elementari. oltre alla stanchezza do la colpa ad una mia preparazione un po lacunosa, tanto è vero che se la stessa cosa mi si chiede di fare utilizzando parole diverse probabilmente sarei fermo.
mi trovo davanti a questo esercizio, e non so se è corretto o meno il mio ragionamento:
U=${(x,y,z,t)^t | x-y+z=2x+t=0}$ e V=Span${v_1,v_2,v_3}$ con
$v_1=(0,1,1,0)^t$
$v_2=(1,0,0,1)^t$
$v_3=(2,-1,-1,2)^t$
a) Calcolare Dim U; Dim V:
Mia soluzione: Dim U = R^4 - #equazioni = 4-2= 2
Dim V= ????
Ragionamento: V è lo span di 3 vettori, in r^4 apparentemente Linearmente Indipendenti, quindi mi viene a pensare che la sua dimensione sia 3. è corretto o ho detto qualche stupidata?
b) Equazione cartesiana di V
e qui viene il bello... come faccio?? io ho pensato di mettere i 3 vettori in una matrice ottenendo
$((0,1,2),(1,0,-1),(1,0,-1),(0,1,2))$ (x,y,z,t)^t$ = 0
e risolvendo il sistema
Premesso che non sono molto bravo a scrivere le formule e che i vettori sono colonna e non riga (per questo ho messo la trasposta) è cosi che si arriva ad avere l'equazione dello del sottospazio V?
mi trovo davanti a questo esercizio, e non so se è corretto o meno il mio ragionamento:
U=${(x,y,z,t)^t | x-y+z=2x+t=0}$ e V=Span${v_1,v_2,v_3}$ con
$v_1=(0,1,1,0)^t$
$v_2=(1,0,0,1)^t$
$v_3=(2,-1,-1,2)^t$
a) Calcolare Dim U; Dim V:
Mia soluzione: Dim U = R^4 - #equazioni = 4-2= 2
Dim V= ????
Ragionamento: V è lo span di 3 vettori, in r^4 apparentemente Linearmente Indipendenti, quindi mi viene a pensare che la sua dimensione sia 3. è corretto o ho detto qualche stupidata?
b) Equazione cartesiana di V
e qui viene il bello... come faccio?? io ho pensato di mettere i 3 vettori in una matrice ottenendo
$((0,1,2),(1,0,-1),(1,0,-1),(0,1,2))$ (x,y,z,t)^t$ = 0
e risolvendo il sistema
Premesso che non sono molto bravo a scrivere le formule e che i vettori sono colonna e non riga (per questo ho messo la trasposta) è cosi che si arriva ad avere l'equazione dello del sottospazio V?
Risposte
Va bene dim(U)=2 , invece è dim(V)=2. Per giungere a tale risultato, se non si vuole fare il calcolo del rango della matrice che ha per righe i vettori $v_1,v_2,v_3$, si può osservare che è $v_3=2v_2-v_1$ e quindi solo $v_1,v_2$ sono linearmente indipendenti.
Per avere le equazioni cartesiane di V puoi fare come segue .
Scrivi la matrice :
$((0,1,1,0),(1,0,0,1),(2,-1,-1,2),(x,y,x,t))$
Essa ha per righe $v_1,v_2,v_3$ ed il generico vettore $(x,y,z,t) $ di $mathbb{R^4}$
La riduci a scalini ed hai la matrice :
$((1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,0,0,0),(0,0,y-z,x-t))$
Poni uguale zero i termini non nulli che si trovano nella quarta riga ed ottieni le equazioni richieste:
\(\displaystyle \begin{cases}y-z=0\\x-t=0\end{cases} \)
A tanto si può arrivare anche più semplicemente osservando che nella composizione dei vettori $v_1,v_2$ la prima e la quarta componente sono uguali ( ovvero è x=t) e così la seconda e la terza componente ( ovvero è y=z)
Per avere le equazioni cartesiane di V puoi fare come segue .
Scrivi la matrice :
$((0,1,1,0),(1,0,0,1),(2,-1,-1,2),(x,y,x,t))$
Essa ha per righe $v_1,v_2,v_3$ ed il generico vettore $(x,y,z,t) $ di $mathbb{R^4}$
La riduci a scalini ed hai la matrice :
$((1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,0,0,0),(0,0,y-z,x-t))$
Poni uguale zero i termini non nulli che si trovano nella quarta riga ed ottieni le equazioni richieste:
\(\displaystyle \begin{cases}y-z=0\\x-t=0\end{cases} \)
A tanto si può arrivare anche più semplicemente osservando che nella composizione dei vettori $v_1,v_2$ la prima e la quarta componente sono uguali ( ovvero è x=t) e così la seconda e la terza componente ( ovvero è y=z)
Ok grazie mille, ora l'ho vista anche io la dipendenza...Scritto in colonne è uguale vero??
Supponendo che non me ne fossi accorto(come è stato) e avrei scritto la matrice, la dipendenza la controllavo calcolandomi il rango della matrice?
Supponendo che non me ne fossi accorto(come è stato) e avrei scritto la matrice, la dipendenza la controllavo calcolandomi il rango della matrice?
Al di là delle speciali situazioni, come quella di questo esercizio , il calcolo del rango di una certa matrice è necessario.
Anche perché si può trovare il prof. piantagrane che non si accontenta...
Anche perché si può trovare il prof. piantagrane che non si accontenta...
Ok, anche io per sicurezza faccio sempre il calcolo del rango per vedere la dimensione, solo che in questo caso mi viene un dubbio.. (io preferisco scrivere la matrice usando i vettori colonna).
Se dovessi calcolare il rango di questa matrice:
$((0,1,2),(1,0,-1),(1,0,-1),(0,1,2))$
noterei che la prima riga è uguale alla quarta e la seconda alla terza, quindi il massimo rango sarebbe 2. Prendo una sottomatrice 2x2 e mi accorgo che il determinante è $!=$ quindi direi che il rango è 2.
L'unica mia perplessità è che facendo cosi ho controllato elementi di vettori diversi che stanno sulla stessa posizione, non so se mi spiego, per esempio la riga 1 è uguale alla riga quattro. ma i vettori sono colonna e non riga. è quindi sbagliato fare la riduzione che ho fatto?
Infine mi è stato chiesto di calcolare una base x U, e la dimensione di U+V. Non ho avuto particolari problemi:
Dim(U+V)=Dim(U)+Dim(V)-Dim(U$nn$V)
Per calcolarmelo ho trovato il rango della matrice formata da vettori di V e dalla base di U che ho trovato nei punti precedenti e mi viene 3. Significa che Dim(U$nn$V) è 1. In effetti una base di U coincideva con un vettore di V.
L'ultimo punto è trovare una base per V^$\bot$
In questo caso la dimensione di $V^$\bot$$ è $$RR$^4$ - dim(V) giusto?
Se dovessi calcolare il rango di questa matrice:
$((0,1,2),(1,0,-1),(1,0,-1),(0,1,2))$
noterei che la prima riga è uguale alla quarta e la seconda alla terza, quindi il massimo rango sarebbe 2. Prendo una sottomatrice 2x2 e mi accorgo che il determinante è $!=$ quindi direi che il rango è 2.
L'unica mia perplessità è che facendo cosi ho controllato elementi di vettori diversi che stanno sulla stessa posizione, non so se mi spiego, per esempio la riga 1 è uguale alla riga quattro. ma i vettori sono colonna e non riga. è quindi sbagliato fare la riduzione che ho fatto?
Infine mi è stato chiesto di calcolare una base x U, e la dimensione di U+V. Non ho avuto particolari problemi:
Dim(U+V)=Dim(U)+Dim(V)-Dim(U$nn$V)
Per calcolarmelo ho trovato il rango della matrice formata da vettori di V e dalla base di U che ho trovato nei punti precedenti e mi viene 3. Significa che Dim(U$nn$V) è 1. In effetti una base di U coincideva con un vettore di V.
L'ultimo punto è trovare una base per V^$\bot$
In questo caso la dimensione di $V^$\bot$$ è $$RR$^4$ - dim(V) giusto?
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