Esercizio su vettori linearmente dipendenti

[Phobos29]

Nel mio eserciziario ho trovato un esercizio che dati i vettori: \(\displaystyle (1,0,-h), (2,-1,1) e (h,1,-1) \) mi chiede di trovare h tale che i vettori siano linearmente dipendenti.
Volevo provare a risolverlo senza ricorrere alle matrici. Ho pensato di ricorrere alla definizione di i vettori l.d. cioè vedere se esiste a tale che \(\displaystyle (1,0,-h)=(2a,-a,a) \) per i primi due vettori. Ma questo sistema non mi viene risolubile e mi blocco qui. Mi date un aiutino?



p.s la soluzione è h=0 e h=2

[mistake89]

Tu hai provato che quei due vettori non saranno mai proporzionali.
L'esercizio ti chiede di provare una cosa un po' più complessa. La via più semplice è quella di calcolare il determinante della matrice che abbia i 3 vettori in colonna ed imporre che esso sia uguale a $0$. Otterrai un polinomio di cui dovrai calcolare le radici, a conti fatti.

[Phobos29]

ciao, grazie per la risposta. Siccome il libro mi dice esplicitamente di non usare la matrice, io stavo cercando un altro modo. Avevo pensato di usare una specie di metodo degli scarti successivi, cioe vedere prima se i primi due vettori sono l.d. per qualche h poi vedere se il terzo è combinazione lineari dei primi due per quelche h, ma evidentemente sto commettendo qualche errore dato che gia i primi due mi vengono linermente indipendenti per ogni h. La mia domanda è: è giusto applicare il metodo degli scarti successivi per questo esercizio?

[mistake89]

E' una via che trovo poco praticabile. E' giusta, ma forse si tratta di fare qualche conto di troppo.
Perché non provi a scrivere una combinazione lineare nulla dei vettori ed imponendo che non tutti gli scalari siano nulli provi a vedere se son calcolabili gli $h$?