Esercizio su una applicazione lineare
Si consideri la trasformazione $T: M_2(R)$$rarr$$M_2(R)$ definita da $T(x)=xC$ al variare di $x$$in$$M_2(R)$
- dimostrare che $T$ è lineare
- scrivere la matrice nella base canonica
- calcolare l'immagine di T nel caso in cui sia $C=$$((-1,2),(3,-6))$
1 - per rispondere alla prima domanda devo verificare se la trasformazione è lineare ovvero che soddidfa le due proprietà allo stesso tempo.
2 - come scrivo la matrice nella base canonica??
3 - non saprei come procedere
grazie in anticipo
- dimostrare che $T$ è lineare
- scrivere la matrice nella base canonica
- calcolare l'immagine di T nel caso in cui sia $C=$$((-1,2),(3,-6))$
1 - per rispondere alla prima domanda devo verificare se la trasformazione è lineare ovvero che soddidfa le due proprietà allo stesso tempo.
2 - come scrivo la matrice nella base canonica??
3 - non saprei come procedere
grazie in anticipo
Risposte
Benvenut*, leggo che il punto 1 lo puoi risolvere di già; ma la matrice [tex]$C$[/tex] per il punto 2 è generica od è quella indicata al punto 3? Inoltre: conosci la base canonica dello spazio vettoriale [tex]$M_2(\mathbb{R})$[/tex]?
Grazie j18eos!
dunque, la matrice $C$ per il punto 2 è una matrice generica, non è quella indicata la punto 3.
per quanto riguarda la base canonica nello spazio vettoriale $M_2(R)$ dovrebbe essere la matrice $((1, 0),(0,1))$, ma quindi questa sarebbe la risposta al secondo punto?
grazie
dunque, la matrice $C$ per il punto 2 è una matrice generica, non è quella indicata la punto 3.
per quanto riguarda la base canonica nello spazio vettoriale $M_2(R)$ dovrebbe essere la matrice $((1, 0),(0,1))$, ma quindi questa sarebbe la risposta al secondo punto?
grazie
Hai sbagliato la base canonica... essa è composta dalle seguenti 4 matrici [tex]$\bigg\{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix};\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix};\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix};\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\bigg\}$[/tex]. Inizia con l'eseguire il prodotto di ognuna di tali matrici con la generica matrice quadrata reale di ordine 2 e trascrivili su un foglio o dove tu stia eseguendo l'esercizio, poi ti dico come procedere. 
Prego, di nulla!
Prego, di nulla!
perfetto, quindi moltiplicando la generica matrice $((a,b),(c,d))$ per la base canonica ottengo
$A=$$((a,0),(c,0))$ $B=$$((0,a),(0,c))$ $C=$$((b,0),(d,0))$ $D=$$((0,b),(0,d))$
dovrebbe essere corretto
$A=$$((a,0),(c,0))$ $B=$$((0,a),(0,c))$ $C=$$((b,0),(d,0))$ $D=$$((0,b),(0,d))$
dovrebbe essere corretto
Ammessa la correttezza devi scrivere tali matrici come vettori "colonne", ad esempio [tex]$A$[/tex] la scrivi come [tex]$(a\,0\,c\,0)^T$[/tex] e tale è la prima colonna della matrice rappresentante [tex]$T$[/tex] rispetto alla base canonica di [tex]$M_2(\mathbb{R})$[/tex].
Chiarissimo, grazie mille, dovevo conscere prima questo forum!!!
Ho letto, come consigliato, i post precedenti ma non riesco ancora a ragionare sul terzo punto.
Devo prendere direttamente la matrice $C$ e calcolarne l'immagine valutando prima il teorema della dimensione? Oppure devo fare qualcosa di diverso?
Ho letto, come consigliato, i post precedenti ma non riesco ancora a ragionare sul terzo punto.
Devo prendere direttamente la matrice $C$ e calcolarne l'immagine valutando prima il teorema della dimensione? Oppure devo fare qualcosa di diverso?
Il teorema "della dimensione" o "formula nullità+rango" ti permettono di conoscere la dimensione dello spazio immagine come [tex]$\mathbb{R}$[/tex]-spazio vettoriale, sicché puoi capire quante matrici costituiscono una base per esso spazio!
quindi siccome il determinante della matrice $C$ è nullo, la matrice ha rango 1 e $dim Im(T) = 1$; ricavo il vettore che costituisce questo spazio.
Il testo dell'esercizio mi chiede questo? La mia comprensione del testo è corretta?
grazie j18eos, mi sei utilissimo
(e visto il risultato, forza Napoli)
Il testo dell'esercizio mi chiede questo? La mia comprensione del testo è corretta?
grazie j18eos, mi sei utilissimo
(e visto il risultato, forza Napoli)
Ragionamento assolutamente errato!
Devi calcolare la matrice rappresentante [tex]$T$[/tex] nel caso specifico della data matrice [tex]$C$[/tex] nella base canonica di [tex]$M_2(\mathbb{R})$[/tex].
P.S.: Per scrupolo mi posti la matrice che ti sei calcolata al punto 2? Così controllo per bene cosa hai capito.
OUT OF SELF: Non sono un tifoso ma per le "Teste Matte Ultras" è meglio che vince...
Devi calcolare la matrice rappresentante [tex]$T$[/tex] nel caso specifico della data matrice [tex]$C$[/tex] nella base canonica di [tex]$M_2(\mathbb{R})$[/tex].
P.S.: Per scrupolo mi posti la matrice che ti sei calcolata al punto 2? Così controllo per bene cosa hai capito.
OUT OF SELF: Non sono un tifoso ma per le "Teste Matte Ultras" è meglio che vince...
si, ok!
punto 2) la matrice della trasformazione lineare rispetto alla base canonica risulterebbe $((a,0,b,0),(0,a,0,b),(c,0,d,0),(0,c,0,d))$ cioè le matrici $A$, $B$, $C$, $D$, scritte come vettori colonna.
punto 3) devo fare lo stesso ragionamento fatto al punto 2) utilizzando la matrice $C$ al posto della matrice generica.
punto 2) la matrice della trasformazione lineare rispetto alla base canonica risulterebbe $((a,0,b,0),(0,a,0,b),(c,0,d,0),(0,c,0,d))$ cioè le matrici $A$, $B$, $C$, $D$, scritte come vettori colonna.
punto 3) devo fare lo stesso ragionamento fatto al punto 2) utilizzando la matrice $C$ al posto della matrice generica.
Esatto! Ovviamente per fare prima basta capire chi sono [tex]$a;\,b;\,c$[/tex] e [tex]$d$[/tex] nella matrice [tex]$C$[/tex] del punto 3 e trascriverli nella "grande" matrice del punto 2! Di quest'ultima ti devi calcolare il rango.
Ovviamente per fare prima basta capire chi sono [tex]$a;\,b;\,c$[/tex] e [tex]$d$[/tex] nella matrice [tex]$C$[/tex] del punto 3 e trascriverli nella "grande" matrice del punto 2! Di quest'ultima ti devi calcolare il rango.
bene, calcolo il rango, di conseguenza conosco la $dimIm(T)$ e determino una base per $Im(T)$
Eh sì, ti conviene calcolare le immagini delle matrici della base canonica di [tex]$M_2(\mathbb{R})$[/tex] mediante [tex]$T$[/tex] per poi trovare una base di [tex]$Im(T)$[/tex] per poter affermare "chi è"!
grazie, domani faccio i calcoli
Prego, di nulla!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo