Esercizio su trasformazioni lineari

[Manugal]

Ciao a tutti!

Ieri ho fatto un'esercitazione di Algebra e la prof. ha fatto questo esercizio:

Dati $V=RR^4$ e $U={(x_1,x_2,x_3,x_4): x_1+x_2=0 , 2x_1+3x_2-x_4=0 , x_2+x_4=0}$:
- Dimostrare che esiste unica una $f:R^4->R^4$ tale che a) $kerf=U$ b) $f((1,0,0,1))=(1,0,0,1)$,$f((0,0,0,1))=(0,0,0,-1)$
- Spiegare perché, senza fare alcun conto, f è diagonalizzabile

Abbiamo iniziato studiando U (cioè abbiamo scritto il vettore generico di U e una base per U):

$(-2x_2,x_2,x_3,-x_2) => B=<(-2,1,0,-1),(0,0,1,0)>

dopodiché mi sono perso un passaggio e non ho capito perché per dimostrare che esiste quella f e che valgono le condizioni a) e b) si è ridotta a vedere se:

$det((-2,1,0,-1),(0,0,1,0),(1,0,0,1),(0,0,0,1))$ è diverso da 0 (cioè vede se i vettori della base e quelli della condizione b) sono indipendenti).

Non capisco perché. E poi dove l'ha fatto vedere che $kerf=U$. Spero di essere stato chiaro.

Grazie.

[franced]

Hai tutto, pensaci bene.

In particolare hai che $(1,0,0,1)$ è autovettore con $lambda=1$ e $(0,0,0,1)$ è autovettore
con $lambda=-1$.

Per quanto riguarda $U$, esso è la base del nucleo di $f$.

[Manugal]

Forse ho capito. Siccome $kerf=U$ (è stato trovato studiando le soluzioni delle equazioni che descrivono U), allora io completo la base di $Kerf$ a una base di $RR^4$ (prendendo guarda un po' i vettori (1,0,0,1) e (0,0,0,1)). E per farlo controllo che i 4 vettori siano linearmente indipendenti. A questo punto la f è perfettamente definita in quanto ho che $U=kerf$ e $Imf={(1,0,0,1),(0,0,0,-1)}$. E' giusto?