Esercizio su topologia particolare

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Buongiorno.
Sia dato l'insieme $ K={ x \in \mathbb{R} | x=1/n, n \in \mathbb{N}, n\geq1} $
e consideo la famiglia di sottoinsiemi di $\mathbb{R}$ data da
$\mathcal{B}={(a,b)}\cup{(a,b) \setminus K} $ al variare di $a,b \in \mathbb{R} $, $a Devo dimostrare che $\mathcal{B}$ è una base di una topologia su $\mathbb{R}$ che chiamo K-topologia.
Il mio problema però è che non riesco a capire come sia fatto l'insieme $\mathcal{B}$.

L'insieme K dovrebbe essere $K={1,1/2,1/3,1/4,....}$, cioè l'insieme formato dalle frazioni dell'1.
Quindi questo comporterebbe una perdita nell'intervallo $(a,b)$ solo se l'intervallo interseca $(0,1)$. Però, ammettendo che ci sia effettivamente una perdita nell'intervallo $(a,b)$, la famiglia di insiemi $\mathcal{B}$ è definita come l'intervallo $(a,b)$ unito all'intervallo con perdita. Quindi sarebbe comunque $(a,b)$, o no?

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"arnett":Ciao

Vedo (non solo in questo esercizio) che ci sono delle difficoltà nel gestire formalmente gli insiemi...Quindi voglio prima dirti una cosa: $\mathcal{B}$ è una collezione di insiemi[nota]un insieme di insiemi se vuoi, ma per vari motivi si cerca di evitare di dire cose tipo insieme di insiemi, collezione di collezioni, etc.[/nota]; quindi il suo generico elemento è un insieme. Quindi la frase

la famiglia di insiemi B è definita come l'intervallo (a,b) unito all'intervallo con perdita

è sbagliata. Una maniera corretta di dirlo è qualcosa del tipo

la famiglia di insiemi $\mathcal{B}$ è definita come l'unione della collezione degli intervalli $(a, b)$ al variare di $a< b\in\RR$ e della collezione dei medesimi intervalli cui viene sottratto l'insieme $K$

Quindi il generico elemento di $\mathcal{B}$ è o un intervallo normale $(a, b)$ o un intervallo con dei buchi $(a, b)-K$.
Il generico elemento di $\mathcal{B}$ non è $(a, b) \cup ((a, b)-K)$!

Se hai chiaro questo puoi passare a dimostrare che quella data è una base. (E poi magari cercare di capire se la topologia indotta differisce da quella di $\R$ e in caso affermativo provare a confrontarle...)

Capito!
Devo anche dimostrare che la K topologia è strettamente più fine della topologia euclidea.
Intuitivamente mi sembra ovvio che gli aperti delle top euclidea siano anche aperti dell'altra, essendo definiti come unioni di intervalli aperti, e non il viceversa. Ma cercando proprio un esempio di aperto di K mi risulta difficile trovarne uno che non si possa scrivere come unione di intervalli aperti ($1/n$ e $1/(n+1) $ per quanto possono essere vicini sono separati da un numero infinito di numeri reali).

Inoltre mi viene chiesto di dire se K è un insieme chiuso sia nella topologia euclidea che nella K-topologia.
Nel caso della topologia euclidea ho trovato la chiusura dell'insieme K che corrisponde proprio a K, perciò K è chiuso.
Nella K topologia ovviamente è chiuso essendo il suo complementare un aperto per come è definita la base della topologia. Ho ragionato correttamente?

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"arnett":Sì ma ancora non hai dimostrato che $\mathcal{B}$ è una base per una topologia...

Comunque, detto bene: la $K$-topology è più fine della euclidea poiché la base della topologia euclidea è interamente contenuta nella base della $K$-topology. Ora abbiamo bisogno un aperto nella $K$-topology che non sia aperto nella topologia euclidea. Direi sicuramente di cercare qualcosa della forma $(a, b)-K$, magari facendo sì che $(a, b)$ contenga lo $0$.

Nel caso della topologia euclidea ho trovato la chiusura dell'insieme K che corrisponde proprio a K, perciò K è chiuso.

No! $0$ sta in $K$? Sta nella chiusura di $K$?

Nella K topologia ovviamente è chiuso essendo il suo complementare un aperto per come è definita la base della topologia

Giusto.

Sono riuscita a dimostrare che è una base utilizzando le due condizioni necessarie e sufficienti. Ho scritto $\mathbb{R}$ come unione degli intervalli $(a,b)$ che sono elementi della base $\mathcal{B}$ e ho studiato le varie intersezioni possibili tra due elementi della base $\mathcal{B}$.
Inoltre ho ragionato di nuovo su $K$ nella topologia euclidea e ho pensato che se $K$ fosse un chiuso vorrebbe dire che coinciderebbe con la sua chiusura. La chiusura di un insieme è definita come intersezione di chiusi contenenti l'insieme stesso ed è a sua volta un chiuso. Secondo la topologia euclidea i chiusi, essendo complementari di unioni di intervalli aperti, sono unioni di intervalli chiusi del tipo $[a,b]$ dove $a

No! $0$ sta in $K$? Sta nella chiusura di $K$?

Mi viene invece difficile ragionare utilizzando lo $0$.

Ho pensato anche che se so che $K$ non è un chiuso nella topologia euclidea, questo vuol dire che $\mathbb{R} - K $ non è un aperto nella topologia euclidea, ma lo è nella K-topologia, essendo unione di elementi del tipo $(a,b)-K$. Perciò potrei considerare questo come esempio di aperto della K topologia che non è aperto nella topologia euclidea. E' corretto?

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"arnett":[quote="isabellaaa97"]Secondo la topologia euclidea i chiusi, essendo complementari di unioni di intervalli aperti, sono unioni di intervalli chiusi del tipo $[a,b]$ dove $a
No I chiusi sono intersezioni arbitrarie di chiusi oppure unioni finite di chiusi... Nella topologia euclidea ci sono chiusi definiti come insiemi di numeri; il caso più banale sono i singleton.

Mi viene invece difficile ragionare utilizzando lo $0$.

Rifletti sulle domande che ti ho fatto. $0$ chiaramente non è contenuto in $K$. Inoltre $0$ è un punto di accumulazione per $K$ poiché preso comunque un aperto $(-\epsilon, \epsilon)$ che contiene lo $0$, tale aperto contiene anche qualche punto di $K$ (e quindi anche infiniti); più precisamente tutti i punti $1/n$ tali che $n>1/\epsilon$. Quindi abbiamo trovato un punto, cioè $0$ che non sta in $K$ ma sta nella chiusura di $K$. Quindi $K$ non è chiuso.

Ho pensato anche che se so che $K$ non è un chiuso nella topologia euclidea, questo vuol dire che $\mathbb{R} - K $ non è un aperto nella topologia euclidea, ma lo è nella K-topologia, essendo unione di elementi del tipo $(a,b)-K$. Perciò potrei considerare questo come esempio di aperto della K topologia che non è aperto nella topologia euclidea. E' corretto?

Giusto.[/quote]

Ho capito, grazie!