Esercizio su spazio duale
ciao a tutti, ho un dubbio su questo esercizio:
$V$ sp vet. su $K$, $dimV=n$ , sia $\psi in V^(\*)$ dove $V^(*)$ è lo spazio duale di $V$, quindi $\psi$ è un funzionale, e supponiamo $\psi!=0$
trovare la dimensione del nucleo di $\psi$.
io l'ho risolto così:
so che, dato un generico prodotto scalare non degenere che indichiamo con $<,>$ su $V$,
$V^(*)$ è isomorfo a $V$ tramite l'isomorfismo che manda $v in V$ $to$ $L_v in V^(**)$
dove $L_v (w)=$ $AA w in V$
perciò $\psi$ sarà uguale a un $L_y$ con $y in V$ da cui la dimensione del ker di $L_y$ è la stessa dell'ortogonale allo spazio generato da $y$.
da cui $dim(Ker(\psi))=n-1$
ma secondo voi c'è una soluzione che non faccia uso di tale isomorfismo?
$V$ sp vet. su $K$, $dimV=n$ , sia $\psi in V^(\*)$ dove $V^(*)$ è lo spazio duale di $V$, quindi $\psi$ è un funzionale, e supponiamo $\psi!=0$
trovare la dimensione del nucleo di $\psi$.
io l'ho risolto così:
so che, dato un generico prodotto scalare non degenere che indichiamo con $<,>$ su $V$,
$V^(*)$ è isomorfo a $V$ tramite l'isomorfismo che manda $v in V$ $to$ $L_v in V^(**)$
dove $L_v (w)=
perciò $\psi$ sarà uguale a un $L_y$ con $y in V$ da cui la dimensione del ker di $L_y$ è la stessa dell'ortogonale allo spazio generato da $y$.
da cui $dim(Ker(\psi))=n-1$
ma secondo voi c'è una soluzione che non faccia uso di tale isomorfismo?
Risposte
Data un'applicazione lineare [tex]f:V\to W[/tex] fra spazi vettoriali, si ha che
[tex]\dim\ker f +\dim\textrm{Im}f=\dim V[/tex]...
[tex]\dim\ker f +\dim\textrm{Im}f=\dim V[/tex]...
è vero, che tonto, e siccome $\psi$ è un funzionale, la sua immagine è al più $1$ perchè definito da $V to K$
perfetto, grazie cirasa!!
perfetto, grazie cirasa!!
Prego! 
Mi sa che questa roba è vera pure se $V$ non ha dimensione finita. Ovvero:
Sia $psi!=0$ una forma lineare sul $K$- spazio vettoriale $V$. Allora $"ker"psi$ ha codimensione $1$ in $V$, ovvero esiste un vettore $w$ tale che $V = ker psi o+ {\lambda w\ :\ \lambda \in K}$.
dim.
Se $psi!=0$ allora è suriettiva, quindi la propria immagine è uno spazio di dimensione $1$. Consideriamo lo spazio vettoriale quoziente $V // "ker"psi$. Per il teorema fondamentale di isomorfismo esso è isomorfo all'immagine di $psi$ e in particolare ha dimensione $1$. Sia $[w]$ una base di $V //"ker"psi$. Per ogni $[x]\in V // "ker" psi$ esiste un unico $lambda \in K$ tale che
$[x]=\lambda [w]$, ovvero, cambiando notazione
$x + "ker"psi= \lambda w + "ker" psi$, per ogni $x \in V$. Quindi $V = "ker" psi + {\lambda w\ :\ \lambda \in K}$; resta da mostrare che la somma è diretta. Se per assurdo non lo fosse, allora dovrebbe essere $w \in "ker" psi$, e quindi $[w]=w + "ker" psi="ker"psi=[0]$, contraddicendo il fatto che $[w]$ è una base. /////
Mi pare che funzioni.
Sia $psi!=0$ una forma lineare sul $K$- spazio vettoriale $V$. Allora $"ker"psi$ ha codimensione $1$ in $V$, ovvero esiste un vettore $w$ tale che $V = ker psi o+ {\lambda w\ :\ \lambda \in K}$.
dim.
Se $psi!=0$ allora è suriettiva, quindi la propria immagine è uno spazio di dimensione $1$. Consideriamo lo spazio vettoriale quoziente $V // "ker"psi$. Per il teorema fondamentale di isomorfismo esso è isomorfo all'immagine di $psi$ e in particolare ha dimensione $1$. Sia $[w]$ una base di $V //"ker"psi$. Per ogni $[x]\in V // "ker" psi$ esiste un unico $lambda \in K$ tale che
$[x]=\lambda [w]$, ovvero, cambiando notazione
$x + "ker"psi= \lambda w + "ker" psi$, per ogni $x \in V$. Quindi $V = "ker" psi + {\lambda w\ :\ \lambda \in K}$; resta da mostrare che la somma è diretta. Se per assurdo non lo fosse, allora dovrebbe essere $w \in "ker" psi$, e quindi $[w]=w + "ker" psi="ker"psi=[0]$, contraddicendo il fatto che $[w]$ è una base. /////
Mi pare che funzioni.
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