Esercizio su spazi vettoriali $L+L'\ L\capL'$

[ansioso]

Dati in $RR3[x]$ $p(x)=1+x \ q(x)=x+x^2 \ r(x)=1+x^2+x^3$ trovare $ L=L({p(x),q(x)}) \ L'=L({r(x),p(x)}), \ L+L' ,\ L\capL'$


Per prima cosa dovrei determinare i vettori che generano L e L'
$L=L({p(x),q(x)})=(\alpha(1,1,0,0)+\beta(0,1,1,0))=(\alpha,\alpha+\beta,\beta,0)$
e
$L'=L({r(x),p(x)})=(\alpha(1,0,1,1)+\beta(1,1,0,0))=(\alpha+\beta,\beta,\alpha,\alpha)$

Trovati i vettori che generano gli spazi vettoriali L ed L', determino una base per $L+L'$ (e qui ho dei dubbi)
Per farlo dovrei determinare la matrice formata dalla somma dei vettori che generano L ed L'
$((1,1,0,0),(0,1,1,0),(1,0,1,1),(1,1,0,0))$ riduzco a scala $ ((1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,2,1),(0,0,0,0))$

Da qui controllo che $dim(L+L')=4-3=1$ Dunque essendo $dim(L+L')!=0$ ha senso procedere e cercare una base,
diversa dal vettor nullo, per $(L+L')$

In questo caso una base dovrebbe esser data dai vettori associati a $p(x),\ q(x),\ r(x)$ ossia $L+L'={(1,1,0,0),(0,1,1,0),(1,0,1,1)}$

Dopo di che per determinare il $L\capL'$
Considero la matrice A formata dalle basi dei due spazi

$\alpha (1,1,0,0) + \beta (0,1,1,0) = \alpha' (1,0,1,1) + \beta' (1,1,0,0)$
$\{(\alpha=\alpha'+\beta'),(\alpha+\beta=\beta'),(\beta=\alpha'),(\alpha'=0):}$ $\{(\alpha=0+\beta'),(\alpha+0=\beta'),(\beta=0),(\alpha'=0):}$ dunque $L=L(\alpha,0,0,\alpha) \forall \alpha in RR$


E' Giusto l'esercizio?
E il modo di trovarmi la base dello spazio somma?? oppure dovrei andare a determinare i vettori generici che generano lo spazio somma di $L+L'$?

[ansioso]

ho apportato qualche correzione.... spero di trovare qualcuno prima dell'esame (martedì mattina)!
Con quella L({...}) intendo il sottospazio generato da quei vettori

[chiara.15011]

"ansioso":Da qui controllo che $dim(L+L')=4-3=1$ Dunque essendo $dim(L+L')!=0$ ha senso procedere e cercare una base,
diversa dal vettor nullo, per $(L+L')$

non ho capito perchè dim(L+L')=1, però il resto mi pare giusto

[ansioso]

io ho usato grassman... $Dim V= n - r(a)$ ed essendo la matrice della somma $((1,1,0,0),(0,1,1,0),(1,0,1,1),(1,1,0,0))$ composta da 4 colonne
dim L+L'=4-3=1
ma mi stai facendo venire dei dubbi...

[chiara.15011]

ma la dimensione non è la cardinalità di una qualunque base? Se sai che $L+L'={(1,1,0,0),(0,1,1,0),(1,0,1,1)}$ allora dim(L+L')=3 e la dimensione dell'intersezione è 1

[ansioso]

esatto... proprio perchè la dimensione è la cardinalità di una qualunque base non mi ritrovo...
Cioè da grassman so che la dim è uno.... ma la base ha tre vettori indipendenti... non capisco dove erro...nel ricercare la base o nel considerare la matrice!

[chiara.15011]

"ansioso":esatto... proprio perchè la dimensione è la cardinalità di una qualunque base non mi ritrovo...
Cioè da grassman so che la dim è uno.... ma la base ha tre vettori indipendenti... non capisco dove erro...nel ricercare la base o nel considerare la matrice!

Ma grassman dice che $dim(U+V)=dimU+dimV-dim(UnnV)$ e in questo caso sarebbe $dim(L+L')=2+2-1=3$

[ansioso]

WAAA è vero... utilizzato la formula per il teo della dimensione...
Grazie chiara dubbio chiarito!