Esercizio su spazi vettoriali

[kekko989]

Nello spazio $R^3$ consideriamo i vettori $u=((1),(0),(1))$ $v=((1),(2),(0))$ 4 $w=((-1),(1),(2))$. Verificare che sono linearmente indipendenti e risolvere in $a,b,c$ la relazione $au+bv+cw$ di un vettore $x=((x_1),(x_2),(x_3))$ generico.

Ho risolto la prima parte,ovvero ho dimostrato che sono linearmente indipendenti risolvendo il sistemino a tre equazioni con le incognite $a,b,c$. Ora però come devo continuare? $x=x_1((1),(0),(1))+x_2((1),(2),(0))+x_3((-1),(1),(2))$ Questa è la relazione che devo risolvere rispetto a un vettore x generico. Ma come? Grazie!

[Camillo]

La seconda parete dell'esercizio significa che , essendo i 3 vettori $ u,v,w$ lin.indip. essi formano una base di $RR^3 $.
Quindi qualunque vettore di $RR^3 $ , chiamiamolo $ x =((x_1),(x_2),(x_3)) $ sarà esprimibile , in modo Univoco come combinazione lineare dei tre vettori della base, cioè appunto $ x=a*u+b*v+c*w $ .
Il punto è trovare questi coefficienti cioè $a,b,c $ che sono le nostre incognite.
Bisogna risolvere il sistema :
$ x_1 = a+b-c $
$x_2 = 2b+c $
$ x_3 = a+2c $
ad esempio con la regola di Cramer : la cosa importante è che il sistema è risolubile ed ha una sola soluzione perchè un quaòunque vettore di $RR^3 $ è esprimibile in modo univoca come comb lineare dei vettori di una base.

[kekko989]

quindi,facendo il sistema
$a+b-c=0$ $2b+c=0$ e $a+2c=0$ vedo se sono linearmente indipendenti. Se lo sono,formano una base di $R^3$. E poi,risolvendo il sistema (purtroppo non conosco la regola di Cramer,cercherò in internet) trovo i tre coefficienti e ,trovando la x(che è univoca poichè i vettori sono linearmente indipendente) ho finito?

[Camillo]

No, quelli che sono linearmente indipendenti sono i vettori $u,v,w$ di $RR^3$ che quindi sono una base di $RR^3$.
Essendo una base, qualunque vettore di $RR^3$ può essere espresso in modo univoco come combinazione lineare dei tre vettori $u,v,w$.
Quindi se chiamo $ x $ il generico vettore di $RR^3 $ , di componenti $x_1,x_2,x_3 $ vuol dire che pongo
$x = (x_1,x_2,x_3 )$.
Esprimo $x $ come combinazione lineare dei tre vettori , ho quindi $x = au+bv+cw $ il che vuol dire :
$(x_1,x_2,x_3 )=a(1,0,1) +b(1,2,0)+c( -1,1,2) $ .
Eguagliando le componeneti omonime ottengo il sistema

$x_1 = a+b-c $
$ x_2 =0*a +2b+c $
$x_3 = a+0*b +2c $

risolvo il sistema col metodo di sostituzione e otterrò i valori di $a,b,c $( che sono le incognite) in funzione di $x_1,x_2,x_3 $.
Questo significa che qualunque valore attribuisca a $x_1,x_2,x_3 $ e quindi per qualunque vettore $x $ posso calcolare i coefficienti $a,b,c $ e quindi esprimo qualunque vettore come combinazione lineare dei vettori della base con i coefficienti della combinazione lineare pari a $ a,b,c $ e quindi $x=au+bv+cw $ .
ok ?

[Camillo]

Completo l'esercizio risolvendo effettivamente il sistema :

$a+b-c =x_1 $
$ 2b+c = x_2 $
$a+2c =x_3 $

$a= (4x_1-2x_2+3x_3)/7 ;b=(x_1+3x_2-x_3)/7 ; c= (-2x_1+x_2+2x_3)/7 $

Ecco un esempio numerico come applicazione del risultato trovato

Considero un vettore di $RR^3 $ , ad esempio $x=(0,3,-5) $ e quindi $x_1=0; x_2=3; x_3 = -5$
Dalla soluzione del sistema ottengo che i coefficienti $a,b,c $ valgono :
$a= -3 ; b= 2 ; c= -1 $
Allora il vettore $x=(0,3,-5) $ si esprime come combinazione lineare dei vettori $u,v,w $ in questo modo :
$ x=(0,3,-5) = -3(1,0,1) + 2(1,2,0) -1(-1,1,2 )$.
Ed inaftti verifico che $x=(0,3,-5) = (-3+2+1,0+4-1,-3+0-2)=(0,3,-5) $.
$u,v,w $ sono dei generatori di $RR^3 $ ma sono anche una base come si è già detto.

Se invece scegliessi come generatori di $RR^3 $ i vettori $u,v,w,z $ essendo $z=(1,3,3) $ , questi 4 vettori sono sì generatori ma certamente non una base di $RR^3$ .ok ?
Se volessi esprimere un qualunque vettore di $RR^3$ in funzione dei 4 generatori , cioè $ x= au+bv+cw+dz $ potrei farlo ma la soluzione non sarebbe più unica , a differenza del caso in cui si usa una base.
Le soluzioni sarebbero infinite : otterrei un sistema di 3 equazioni in 4 incognite con appunto $oo $ soluzioni , esprimibili tutte in funzione di un parametro , ad es $d $ .

[kekko989]

Se invece scegliessi come generatori di $R^3$ i vettori $u,v,w,z$ essendo $z(1,3,3)$ , questi 4 vettori sono sì generatori ma certamente non una base di $R^3$ .ok ?

Potrebbero essere una base solo se fossero lineamente dipendenti giusto? E quindi uno si potesse scrivere in relazione agli altri tre, e avremmo una presunta basi $v,w,z$, Ho detto una castroneria?


Quindi io,dati tre vettori in $R^3$ o $x$ vettori in $R^x$,verifico che siano linearmente indipendenti. (in questo caso
$a+b-c=0
$2b+c=0$
$a+2c=0$

Poichè l'unica soluzione è $(0,0,0)$ allora essi sono una base in $R^3$. Ed infine esplicito ogni parametro in funzione di un generico $x=(x_1;x_2;x_3)$

[Camillo]

I vettori $u,v,w,z $ potrebbero essere una base di $RR^3$ se e solo se fossero linearmente INDIPENDENTI : ma non può essere che 4 vettori siano linearmente indipendenti se appartengono a uno spazio , come $RR^3$ che ha dimensione 3 !
Tre vettori ( ad esempio i vettori $u,v,w $definiti all'inizio ) sono linearmente indipendenti se e solo se la loro generica combinazione lineare che dà il vettore nullo, cioè
$alpha u+ betav+gammaw =0 $ ha come unica soluzione $alpha =beta= gamma $.

Verifichiamo : $ alpha ( 1,0,1)+beta(1,2,0)+ gamma(-1,1,2) =(0,0,0) $ da cui
$alpha+beta-gamma =0 $
$2beta+gamma =0 $
$alpha +2 gamma =0 $
che ha in effetti l'unica soluzione $alpha=beta=gamma=0 $ e quindi i 3 vettori sono una base di $RR^3 $.

Non sempre capisco esattamente cosa tu voglia dire

[kekko989]

allora non mi è ben chiara la differenza tra generatori e base.. Per il resto,ho capito.. Scusami,hai ragione,quando l'argomento è ostico ,non riesco neanche io a comprendere cosa voglio dire.. Comunque grazie mille,gentilissimo!!

[Sk_Anonymous]

Mi intrometto nella discussione: una base di uno spazio vettoriale è un insieme di generatori che sono tra di loro linearmente indipendenti.
Esempio: considera lo spazio vettoriale $RR^2$. I vettori $(1,0)$,$(0,1)$,$(1,1)$ sono generatori di $RR^2$ perchè ogni vettore di $RR^2$ è scrivibile come combinazione lineare dei vettori stessi. I vettori $(1,0)$ e $(0,1)$ sono una base di $RR^2$ perchè generano (cioè ogni vettore di $RR^2$ è esprimibile come una combinazione lineare di essi) e sono linearmente indipendenti (cioè $a*(1,0)+b*(0,1)=(0,0)=>a=b=0$).

EDIT: puoi vedere la cosa nel seguente modo: un insieme di generatori è una base se e solo se gli elementi dell'insieme sono linearmente indipendenti.

[Camillo]

Stavo per fare lo stesso esempio fatto da matths87
Aggiungo solo che nel caso dei generatori $(1,0),(0,1),(1,1) $ di $RR^2$, ogni vettore di $RR^2 $ è esprimibile come combinazione lineare dei generatori ma ciò è possibile in $ oo $ modi diversi.
Nel caso invece dei vettori $(1,0),(0,1) $ che costituiscono una Base di $RR^2$ , ogni vettore di $RR ^2$ è esprimibile come combinazione lineare dei vettori della base, ma in modo unico.

[kekko989]

Verificare che l'insieme dei vettori $u=((1),(2))$ $v=((1),(-1))$ $w=((0),(-1))$ $z=((-2),(2))$ di $R^2$ è generatore ed estrarre tutte le possibili basi in $R^2$.
Ho problema a capire che sia generatore,perchè prendendo un generico $x=au+bv+cw+dz$ ottendo due equazioni con quattro incognite. Appunto
$x_1=a+b-2d$
$x_2=2a-b-c+2d$.

Per estrarre le possibili basi,ho prima considerato $$ che è base poichè $a+b=0$ $2a-b=0$ è vero solo per $a=b=0$
Ho ragionato così per tutti i diversi vettori,e mi è venuto che tutte le coppie di vettori possono essere basi,ovvero $;;;;;$. é sbagliato? Grazie mille!

[Fioravante Patrone1]

"kekko89":Verificare che l'insieme dei vettori $u=((1),(2))$ $v=((1),(-1))$ $w=((0),(-1))$ $z=((-2),(2))$ di $R^2$ è generatore ed estrarre tutte le possibili basi in $R^2$.
Ho problema a capire che sia generatore,perchè prendendo un generico $x=au+bv+cw+dz$ ottendo due equazioni con quattro incognite. Appunto
$x_1=a+b-2d$
$x_2=2a-b-c+2d$.

e tu sbatti uguali a zero c e d...

"kekko89":Per estrarre le possibili basi,ho prima considerato $$ che è base poichè $a+b=0$ $2a-b=0$ è vero solo per $a=b=0$
Ho ragionato così per tutti i diversi vettori,e mi è venuto che tutte le coppie di vettori possono essere basi,ovvero $;;;;;$. é sbagliato? Grazie mille!

lapsus "freudiano"?
Ripeti due volte $$ e dimentichi $$ che appunto non è base.

Due parole sulle notazioni.
Per me, una base è un insieme di vettori, quindi io scriverei ${v,z}$.

[kekko989]

perchè devo metterli zero c e d scusami? ok hai ragione..ho capito perchè non è una base..grazie! Per l'annotazione ho usato quella usata del professore..

[Fioravante Patrone1]

"kekko89":perchè devo metterli zero c e d scusami? ok hai ragione..ho capito perchè non è una base..grazie! Per l'annotazione ho usato quella usata del professore..

"annotazione"?

Chiedi al prof come mai usa quella notazione.
La domanda chiave è: cosa è una base? Ripeto, per me è un insieme di vettori liberi.
Per il tuo prof è una n-pla ordinata di vettori liberi?
Ma se così è, di basi ce ne sono molte di più!
Esattamente il doppio di quelle che avevi trovato (fatta la correzione).

[Fioravante Patrone1]

"Sergio":[quote="Fioravante Patrone"]Chiedi al prof come mai usa quella notazione.

Ha capito male. $$ non è una base, ma è lo spazio generato dai vettori $u,v$. Alias $Span(u,v)$, alias $L(u,v)$, ecc.[/quote]Potrebbe essere.

"Sergio":[quote="Fioravante Patrone"]La domanda chiave è: cosa è una base? Ripeto, per me è un insieme di vettori liberi.
Per il tuo prof è una n-pla ordinata di vettori liberi?
Ma se così è, di basi ce ne sono molte di più!
Esattamente il doppio di quelle che avevi trovato (fatta la correzione).

Infatti. $(e_1,e_2,e_3)$ e $(e_1,e_3,e_2)$ non sono modi diversi di scrivere la stessa base (anche se in pratica non si è sempre così pignoli....).

E vediamo ora che cosa mi si rovescia addosso..... [/quote]Da parte mia non ti si rovescia addosso nulla.
A mio parere c'è un po' di ambiguità in circolazione. Penso dovuta in parte al fatto che quando si parla di matrice di rappresentazione di un operatore lineare, si stanno usando basi "ordinate".
Ma lascio volentieri la parola a chi è più impiastricciato di me con l'algebra lineare.

[kekko989]

grazie mille a tutti e due. E scusatemi per "l'annotazione" ero un pò sovrappensiero. Ok,ho capito. Non mi è chiaro solo come faccio a capire che l'insieme di 4 vettori(e in particolar modo di questi quattro) possa generare uno spazio $R^2$. Come lo posso verificare analiticamente. Prima ho provato,ma viene fuori un sistema di due equazioni a quattro incognite. Inoltre però,so che due vettori sono dipendenti,visto che $z=-2v$? Quindi posso "eliminarli"?? Se loro rappresentano una retta,non posso essere una base come mi avete detto,ma non posso essere neanche generatori,giusto?

[Camillo]

Certamente i due vettori $z, v $ , da soli, non possono generare tutto $RR^2$ ( ma solo una retta)in quanto linearmente dipendenti , ma insieme agli altri generano tutto $RR^2 $ .
Naturalemnte per generare tutto $RR^2 $ bastano i vettori ad esempio $ u,w $ che sono lin indip , sono in numero di $2 $ e quindi sono anche una base di $RR^2$.
Capisci, detto in soldoni , che per generare tutto $RR^2 $ bastano $u, w $ : se ci aggiungi anche $z,v $ ... abbondanza , tutti e 4 insieme ( le loro combinazioni lineari) generano comunque ancora tutto $RR^2 $.
Disegna i 4 vettori sul piano cartesiano e vedrai subito che $z,v $ combinati linearmente in ogni modo possibile non potranno mai generare $RR^"$ , ma solo la retta ( di equazione $y =- x $ ) su cui giacciono loro stessi.
P.S. Ti è chiaro cosa vuol dire graficamente fare la combinazione lineare di due vettori ?

[kekko989]

Sisi..più o meno.. ho un altro problema..sempre legato al piano cartesiano.. posto l'esercizio
Nello spazio $r^3$ si considerino i vettori $v=((1),(2),(0))$ $w=((-1),(-1),(2))$. Mostrare che un vettore generico $x=((x_1),(x_2),(x_3))$ appartiene al piano generato da v e w se e solo se vale la relazione $4x_1+2x_2+x_3$. Questo l'ho fatto,e salvo errori di conti ottengo che $b=x_3/2$ e $a=x_1+x_3/2$. Ora però devo disegnare e caratterizzare i sottoinsiemi di $R^3$ formati dagli estremi finali dei vettori del tipo $av+bw$ soggetti alle seguenti condizioni.
$a,b [0;+oo)$.
$a+b=1$
$a+b=1 a,b [0,+oo)$
$a,b<=1$.

Ho scritto le relazioni,ovvero nel primo $x_1+x_3/2>0$ e $x_3>0$ eccettera..ma non riesco a disegnarlo e a rappresentarle su un piano. La prima dovrebbe venire un cono,la seconda un rettangolo per esempio,ma non riesco proprio a farlo.

[kekko989]

Sempre riguardo agli spazi vettoriali:
Si determino se i sottoinsiemi di $R^3$ formati dai vettori $x=((x_1),(x_2),(x_3))$ soddisfacenti alle seguenti condizioni siano o meno sottospazi di $R^3$.
$a) x_1+x_2=x_3$
$b)x_1+x_2-x_3+1=0$.

Allora,ho ragionato così. Il vettore generico si può scrivere come $x=((x_1),(x_2),(x_1+x_2))$. Quindi,prendendo due ipotetici vettori $v,w$ ho:$v=((1),(0),(1))$ e $w=((0),(1),(1))$. Da cui verifico che sono linearmente indipendenti e possono quindi formare una base. è sbagliato? Analogamente ho fatto per il punto b. Grazie!

[miuemia]

il fatto che tu abbia trovato una base non vuol dire nulla!
devi verificare che sono dei sottospazi e dunque che verifichino le condizioni di sottospazio... a) è un sottospazio perchè è un piano passante per l'origine il secondo non è un sottospazio in quanto è si un piano ma è traslato e non passa per l'origine e dunque il vettore nullo non vi appartiene.

[kekko989]

okok ci sono,che stupido!riguardo all'esercizio precedente,mi puoi aiutare?